（2）自然数的序数理论。这种理论完全采用公理化的方法，它以一个基本关系和四条公里为基础，并且还使用了“对应”这一不定义概念，这里暂不详述。在次基础上定义了加乘运算，同样地利用逆运算定义减除运算。
从上面简单介绍可以看出这两种理论各有特点，自然数的序数理论，比较直接地建立在经验的基础上，因此易与理解，但它仅仅反映了自然数表示量的意义，即回答多少个的问题，而对于自然数表示顺序这一重要意义，即回答第几个问题就揭露的不够。自然数的序数理论，采用公理化形式，更深刻，更明确，更全面地反映了自然数的本质，但比较抽象，初学者不易接受。因此在小学中所讲的的自然数是主要根据自然数的基数理论，但也不能偏重于这一理论，例如引进自然数列的概念，还是渗透了序数理论。例如，对于0是不是自然数，这一问题备受争议，就是教师本身对序数理论不够清楚。
三、挖掘教材内涵，解决数学矛盾。
小学数学中关于数的概念有过两次扩展，一次是引进0，一次是引进正分数；每一次扩充都是因为解决现实问题的需要而逐渐发展的。例如在讲授“0的引入”，许多教师都有自己独特的方法，但有又着共同的特点就是联系生活，感知0的存在，为学生设置障碍，使学生产生疑虑，师生共同解决矛盾。学生虽然不需要知道自然数的序数理论，但教师必须心中有数，让学生在实际问题中感知，0是最小的自然数，0的后继数是1等数感。引进新数“0”，是实际生活的需要，让学生明白了这样的道理，让学生感知“0” 的存在性。
因为某种可分割的量的需要，引入了正分数。小学引入正分数是三年级上册内容，而事实上在二年级学生学了平均分和表内除法时概念时，学生已经提出了质疑，如，我在讲平均分时，学生举例中就有：把4个品过平均分给8个小朋友，每人可分几个？有些同学就说分错了，有些同学说没法分，有些小朋友说应该是把题目改为：把8各苹果平均分给4个小朋友，平均每个小朋友分几个？而有极少数的同学却说：应该是4÷8，表示每人平均分给半个苹果。虽然这些意见大相径庭，但都反映了每个同学数感认识的真实情况。这种矛盾的存在也正是引进正分数的契机。我把题目稍微变化：把一个苹果平均分给2各小朋友，没人分到几个？全班都答出同样的答案：半个。用除法怎么表示？学生都会说出1÷2说明学生感知到了正分数的存在性。发现被除数也可以比除数大。这为下一年学习正分数打好了伏笔。
四、认真研修，不断创新。
网络研修，给了我们便捷的教研交流平坦，我们要珍惜这次学习的机会，认真遵守研修规则，除了完成老师布置的研修作业外，更重要的是向一线教师的学习，想专家取经，提升自己的教学能力，从自身做起，具备较高的数学素养，在平时的教学中时时抓住机会，设计较为科学的教学方案引领学生。
有人说数学就是规定了游戏规则的一种游戏，如何领孩子们玩转这个游戏，教师首先要熟知游戏规则，怎样玩的更精彩？将是我以后不懈的追求！