一、 复习引入(9分钟)
1、①课件演示,无数个点累积成一条线。
师:请看大屏幕,通过观察,你想到了什么?
生:无数个点累积成一条线。
师:对,线是由无数个点累积而成的。
②课件演示,无数条线可以累积成一个面。
师:继续看,又想到了什么?
生:无数条线可以累积成一个面。
师:对,平面图形是由无数条线累积而成的。
2、 师:今天,我们要继续研究与圆有关的知识。请大家想一下,什么是圆?
生可能会说,圆是由一条曲线围成的封闭图形。(如果学生不说时提醒学生)
课件出示,椭圆形。
师:大家请看这是什么图形?(生:椭圆形。)它也是由一条曲线围成的图形啊?
生发言
师:到底怎样描述,才准确呢?生发言
师边揉绳边说:圆是当半径绕一个端点旋转一周时,另一个端点形成的轨迹。
课件演示
3、 师:知道了圆的定义我们再来想想,圆的面积指的是什么?
生:圆所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。
师:是不是就是这么大!课件演示
师:同学们想一想,圆可以看做由什么样的线累积而成的呢?
生发言,师根据学生的发言,及时调整课件顺序。
①圆的面积,可以看做由无数条半径累积而成。②圆的面积,还可以看做由无数个同心圆的周长线累积而成。③包饺子用的盖垫(课件演示)
二、 探究拓展(29分钟)
1 师:今天我们要继续研究圆面积公式的推导。大家想一想,圆的面积公式是什么?
生:S=πr×r(板书)
2 师:对!同学们,上节课我们是怎样推导出的圆面积计算公式?
生:把圆转化成长方形或平行四边形。以平行四边形为例,我们把圆16等分,平成了平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的一半,平行四边形的高相当于圆的半径,平行四边形的面积等于底乘高,所以圆的面积等于圆周长的一半乘半径,也就是πr×r=πr的平方。
3 师:同学们记得真清楚,推导圆的面积公式时我们用到了一种重要的数学思想?(转化)(板书)对,也就是将新知识转化为旧知识,利用已知的来研究未知的。
4、 师:同学们想一想,圆除了转化成长方形和平行四边形,还可以转化成学过的哪些图形?
生回答,三角形、梯形。
师:为什么要转化成三角形、梯形?
明确,是想把曲线图形转化成线段围成,边是直的的图形。
5、 师:这只是大家的猜想啊!你想验证一下吗?是否真的能推导出圆的面积公式啊!
好,下面就和小组同学一起剪一剪、拼一拼,按操作要求,把圆转化成一个已学过的图形,推导圆的面积公式。谁来给大家读一下操作要求?
生:操作要求:1 把圆转化成一个已学过的图形。
2 找一找圆和转化后的图形,各部分之间的关系。
3 验证你转化后的图形能否推导出圆的面积计算公式。
6、 小组合作,操作推导,代表汇报
师:哪个小组来展示一下你们组的研究成果。
生1:我们组把圆转化成一个近似的三角形,三角形的底相当于圆周长的四分之一,三角形的高相当于圆半径的四倍,三角形的面积等于底乘高除以2,所以圆的面积等于,圆周长的四分之一乘4r,除以2,也等于πr的平方。
师:你们组太厉害了,把圆转化成了三角形,也推导出了圆的面积公式。还有哪个组有不同想法。
生2:我们组把圆转化成一个近似的梯形,梯形的上底加下底的和相当于圆周长的二分之一,梯形的高相当于圆半径的2倍,梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2,所以圆的面积等于,圆周长的2分之一乘2r,除以2,也等于πr的平方。
师:你们组也很棒,把圆转化成了梯形,并推导出了圆的面积公式。哪个组愿意说说你们的想法?
生3:我们组把圆转化成一个这样的近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一,平行四边形的高相当于圆半径的2倍,平行四边形的面积等于底乘高,所以圆的面积等于圆周长的4分之1乘半径乘2,也推导出S=πr的平方。
师:对!把圆转化成这样的平行四边形,也能推导出圆的面积公式。
7 师:大家今天的表现太精彩了。用这么多种方法,把圆转化成了其他平面图形,再次推导出了圆的面积计算公式S=πr×r。那,同学们想一想,如果把圆等分的份数越多,拼成的图形会怎么样?(生发言)我们以转化成近似的长方形为例。书上是把圆等分成32份拼的,那如果我们等分成64份,会怎样呢?
(课件演示)等分64份,学生观察,说发现。让学生说份数,老师课件操作,128份,256份,998份。学生观察说发现。
师:是啊!分的份数越多,拼得的图形就越接近于长方形。
8 拓展
师:咱班同学真是太聪明了!请同学们再开动脑筋想一想,把圆转化成平面图形还有其他方法吗?