济南市历下实验小学 王玉嫚

设计理念：

杜威主张“从做中学”。他认为，“在做事里面求学问”，比“专靠听来的学问好得多”。使儿童从做中学，即从那些真正有教育意义和兴趣的活动中进行学习，那也许标志着对于儿童一生有益的一个转折点。杜威主张“从做中学”，强调学习者个人的直接的主观经验，提倡学生的个人探索，重视知识的学以致用，培养学生的实际操作能力。同时，他一直认为小孩子不是什么都懂得的，富于经验的教师，不仅有权力，而且有义务在学习中帮助学生，不过他坚持在师生共同参与的活动中，无论教师和学生，愈少意识到自己在那里施教或受教愈好。

我在设计这节课时，尝试体现这一思想，老师作为孩子学习的参与者，合作者和指导者，力求为孩子做好知识、思想的铺垫，然后给孩子提供充分的探索空间和动手操作，合作交流的空间。让孩子自己经历知识的形成过程，获得有益的体验。

学情分析：

学习此知识之前，学生已初步认识了圆，理解了面积的含义，并且掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，因此学习圆的面积公式推导过程时只需要教师启发、点拨学生依然从转化的思想入手，将圆转化为已学过的图形进行计算，然后通过等量代换得到圆面积公式。

教学内容：人教版六年级上册圆的面积，公式推导的拓展。

教学目标：

1．学生通过观察、操作、分析和讨论，推导出圆的面积公式。

2．能够利用公式进行简单的面积计算。

3．渗透转化思想，初步了解极限思想，培养学生的观察能力和动手操作能力。

教学重难点：使学生进一步体会转化的方法的价值，培养学生运用已有知识解决实际问题和合情推理的能力，培养空间观念，并渗透极限思想。

教、学具准备：

1．CAI课件；

2．把圆8等分、16等分和5等分的硬纸板若干个；

3．剪刀若干把。

教学过程：

一、 复习引入(9分钟)

1、课件演示，无数个点累积成一条线。无数条线可以累积成一个面。

师：请看大屏幕，通过观察，你想到了什么？

师：继续看，又想到了什么？

通过观察，向学生渗透微分的思想，知道“点、线、面”的关系，提高学生的空间想象力。

2、 师：今天，我们要继续研究与圆有关的知识。请大家想一下，什么是圆？

生可能会说，圆是由一条曲线围成的封闭图形 课件出示，椭圆形。

师：大家请看这是什么图形？（生：椭圆形。）它也是由一条曲线围成的图形啊？

生发言

师：到底怎样描述，才准确呢？生发言

师边揉绳边说：圆是当半径绕一个端点旋转一周时，另一个端点形成的轨迹。

课件演示...

通过教具演示，课件演示，使学生明确，圆的定义。

3、 师：知道了圆的定义我们再来想想，圆的面积指的是什么？

生：圆所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。

师：是不是就是这么大！课件演示

师：同学们想一想，圆可以看做由什么样的线累积而成的呢？

生发言，师根据学生的发言，及时调整课件顺序。

①圆的面积，可以看做由无数条半径累积而成。②圆的面积，还可以看做由无数个同心圆的周长线累积而成。③包饺子用的盖垫（课件演示）

使学生明确圆也是一个由无数条线围成的图形，为最后同心圆的线转化成三角形做铺垫。

二、 探究拓展（29分钟）

1 师：今天我们要继续研究圆面积公式的推导。大家想一想，圆的面积公式是什么？

生：S=πr×r(板书)

2 师：对！同学们，上节课我们是怎样推导出的圆面积计算公式？

生：把圆转化成长方形或平行四边形。

3 师：推导圆的面积公式时我们用到了一种重要的数学思想？（转化）（板书）

4 师：同学们想一想，圆除了转化成长方形和平行四边形，还可以转化成学过的哪些图形？

生回答，三角形、梯形。

5 师：这只是大家的猜想啊！你想验证一下吗？是否真的能推导出圆的面积公式啊！好，下面就和小组同学一起剪一剪、拼一拼，按操作要求，把圆转化成一个已学过的图形，推导圆的面积公式。

操作要求：1 把圆转化成一个已学过的图形。

2 找一找圆和转化后的图形，各部分之间的关系。

3 验证你转化后的图形能否推导出圆的面积计算公式。

6、 小组合作，操作推导，代表汇报

师：哪个小组来展示一下你们组的研究成果。

生1：我们组把圆转化成一个近似的三角形，三角形的底相当于圆周长的四分之一，三角形的高相当于圆半径的四倍，三角形的面积等于底乘高除以2，所以圆的面积等于，圆周长的四分之一乘4r，除以2，也等于πr的平方。

生2：我们组把圆转化成一个近似的梯形，梯形的上底加下底的和相当于圆周长的二分之一，梯形的高相当于圆半径的2倍，梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2，所以圆的面积等于，圆周长的2分之一乘2r，除以2，也等于πr的平方。

生3：我们组把圆转化成一个这样的近似的平行四边形，平行四边形的底相当于圆周长的四分之一，平行四边形的高相当于圆半径的2倍，平行四边形的面积等于底乘高，所以圆的面积等于圆周长的4分之1乘半径乘2，也推导出S=πr的平方。

7 师小结：

大家今天的表现太精彩了。用这么多种方法，把圆转化成了其他平面图形，再次推导出了圆的面积计算公式S=πr×r。

8 师：同学们想一想，如果把圆等分的份数越多，拼成的图形会怎么样？（生发言）我们以转化成近似的长方形为例。书上是把圆等分成32份拼的，那如果我们等分成64份，会怎样呢？

（课件演示）等分64份，学生观察，说发现。让学生说份数，老师课件操作，128份，256份，998份。学生观察说发现。

师：是啊！分的份数越多，拼得的图形就越接近于长方形。

9 拓展

师：咱班同学真是太聪明了！请同学们再开动脑筋想一想，把圆转化成平面图形还有其他方法吗？

生3：我们组把圆等分成了16份，取其中的一份，也就是圆的16分之1，大家看，这一份小扇形，其实已经非常接近一个小三角形了，求出这个小三角形的面积再乘以16，就是圆的面积。这个小三角形的底相当于圆周长的16分之1，高相当于圆的半径，16个小三角形面积等于圆周长的16分之1乘半径除以2再乘16，也推导出S=πr的平方。

师：这个方法太棒了！你们认为呢？生发言。它很简单，不用拼，先算出其中一份的面积再乘份数就得到了整个圆的面积。化繁为简，真巧妙！

10 师：那还有别的方法吗？【停顿一下】你们还想知道吗？（想）【课件演示、同心圆】请大家仔细观察

①师：这是无数个同心圆的周长线累积成的圆面。如果沿这个圆的半径剪开，把这些周长一根根拉直排整齐，看，能拼成了什么图形？（近似的三角形）和你想的一样吗？

用这个三角形能推导出圆的面积计算公式吗？咱试试。

生：三角形的底相当于圆的周长，三角形的高相当于圆的半径，三角形的面积等于底乘高除以2，所以圆的面积等于，圆周长乘r，除以2，也等于πr的平方。【师板书】

②师：瞧！这样也能把圆转化成三角形，推导圆的面积公式。大家看到我这种方法，你又想到了什么方法？【课件演示】如果沿直径剪开呢？想想，能拼成什么图形？和你想的一样吗？（拼成2个三角形。）（菱形）（平行四边形）你能用这两个三角形的面积推导圆的面积公式吗？试试！

生：三角形的底相当于圆的周长的一半，三角形的高相当于圆的半径，三角形的面积等于底乘高除以2，所以圆的面积等于，圆周长的一半乘r，除以2，再乘2，还是πr的平方。【师板书】

（有的学生可能还想尝试把圆转化成正方形，可以让学生下课尝试实验，会发现，圆是无法转化成正方形的。因为圆的周长是它半径的6π倍，无论如何，也无法使相邻的两条边长度相等。）

11 师：同学们，看到了吗，条条大路通罗马啊！只要你努力，一定能找到更多的方法，把圆转化成其他平面图形，推导圆的面积计算公式。

12 师：回想今天研究的这些方法，你认为哪种方法最好？为什么？

三、 全课小结（2分钟）

师：通过今天的学习，你有什么收获？

生：今天我们都是应用转化的思想，把圆转化成其他图形，推到面积公式。

师：对！可，为什么要转化呢？（生回答）【师边做手势边小结】圆是曲线围成的图形，我们把它转化成三角形、梯形、平行四边形、长方形，都是线段围成的图形。这是数学上一种重要的思想---------【课件出示、化曲为直】。

再看，转化时，我们把圆分的份数越多，拼得的图形就越（生，接近于线段围成的图形），这在数学上叫做---------【课件出示、微分】。

这节课大家又一次，使用了剪拼等方法把圆转化成了其它图形，从而推导出了圆的面积计算公式S=πr的平方。同学们运用智慧解决了问题，收获了成功。