1. 圆周率
圆周率是圆的周长和它的直径的比。这个比值是一个无限不循环小数，通常用希腊字母π来表示。
圆周率π的值是怎样计算出来的呢？
在半径为r的圆中，作一个内接正六边形（如图）。
这时，正六边形的边长等于圆的半径r，因此，正六边形的周长等于6r。如果把圆内接正六边形的周长看作圆的周长的近似值，然后把圆内接正六边形的周长与圆的直径的比看作圆的周长与圆直径的比，这样得到的圆周率是3，显然这是不精确的。
如果把圆内接正六边形的边数加倍，可以得到圆内接正十二边形；再加倍，可以得到圆内接正二十四边形……不难看出，当圆内接正多边形的边数不断地成倍增加时，它们的周长就越来越接近于圆的周长，也就是说它们的周长与圆的直径的比值，也越来越接近于圆的周长与圆的直径的比值。根据计算，得到下列数字：
这样，我们就得到了一种计算圆周率π的近似值的方法。
早在一千七百多年前，我国古代数学家刘徽曾用割圆术求出圆周率是3.141024。继刘徽之后，我国古代数学家祖冲之在推求圆周率的研究方面，又有了重要发展。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；另一个是朒（ｎǜ）数（即不足的近似值），为3.1415926。圆周率的真值正好在盈朒两数之间。祖冲之还采用了两个分数值：一个是22/7（约等于3.14），称之为“约率”；另一个是355/113（约等于3.1415929），称之为“密率”。祖冲之求得的密率，比外国数学家求得这个值，早一千多年。
2. 圆的面积
在半径为R的圆中，当内接正多边形的边数不断地成倍增加时，正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。
如图，AB是圆O的内接正n边形的一边，OD垂直于AB（它的长度用r表示）。所以△AOB的面积等于12AB·r。正n边形的面积等于△AOB面积的n倍，因此，正n边形的面积＝(1/2)AB·r·n＝(1/2)（AB·n）·r。因为正n边形的周长p＝AB·n，所以正n边形的面积＝(1/2)p·r。
当正n边形的边数不断地成倍增加时；正n边形的面积n越来越接近于圆的面积；同时，正n边形的周长p也越来越接近于圆的周长2πR；r也越来越接近于圆的半径R。因此，圆的面积S=(1/2)pR=(1/2)×2πR×R=πR2。