我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。
1.乘法的运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即
a×b=b×a。
其中，a，b为任意数。
例如，35×120=120×35=4200。
乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
注意：
(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。
(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有
a×b×c=b×(a×c)等。
例1计算下列各题：
(1)17×4×25； (2)125×19×8；
(3)125×72； (4)25×125×16。
分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。
解：
(2)125×19×8
=(125×8)×19
=1000×19
=19000；
(3)125×72
=125×(8×9)
=(125×8)×9
=1000×9
=9000；
(4)25×125×16或
=25×125×2×8
=(25×2)×(125×8)
=50×1000
=50000，
25×125×16
=25×125×4×4
=(25×4)×(125×4)
=100×500
=50000。
乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即
(a+b)×c=a×c+b×c，
(a-b)×c=a×c-b×c。
例2计算下列各题：
(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25；
(3)2004×25； (4)125×792。
解：
(1)125×(40+8)
=125×40+125×8
=5000+1000
=6000；
(2)(100-4)×25
=100×25-4×25
=2500-100
=2400；
(3)2004×25
=(2000+4)×25
=2000×25+4×25
=50000+100
=50100；
(4)125×792
=125×(800-8)
=125×800-125×8
=(125×8)×100-1000
=1000×100-1000
=1000×(100-1)
=99000。
2.除法的运算律和性质
商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即
a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)
=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
例3计算：
(1)425÷25；(2)3640÷70。
解：
(1)425÷25
=(425×4)÷(25×4)
=1700÷100
=17；
(2)3640÷70
=(3640÷10)÷(70÷10)
=364÷7
=52。
(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即
(a±b)÷c=a÷c±b÷c。
例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，
(9-6)÷3=9÷3-6÷3。
此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如
(1000-688-136)÷8
=1000÷8-688÷8-136÷8
=125-86-17=22。
(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即
a÷b÷c=a÷c÷b。
在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，
168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……
例4计算下列各题：
(1)(182+325)÷13；
(2)(2046-1059-735)÷3；
(3)775÷25；
(4)2275÷13÷5。
解：(1)(182＋325)÷13
=182÷13+325÷13
=14+25
=39；
(2)(2046-1059-735)÷3
=2046÷3-1059÷3-735÷3
=682-353-245
=84；
(3)775÷25
=(700+75)÷25
=700÷25+75÷25
=28+3=31；
(4)2275÷13÷5
=2275÷5÷13
=455÷13
=35。
3.乘、除法混合运算的性质
(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：
括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即
a×(b×c)=a×b×c，
a×(b÷c)=a×b÷c。
括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即
a÷(b×c)=a÷b÷c，
a÷(b÷c)=a÷b×c。
添加括号情形：
加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即
a×b×c=a×(b×c)，
a×b÷c=a×(b÷c)，
a÷b÷c=a÷(b×c)，
a÷b×c=a÷(b÷c)。
(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即
(a×b)÷(c×d)
=(a÷c )×(b÷d)
=(a÷d)×(b÷c)。
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
例5计算下列各题：
(1)136×5÷8
=136÷8×5
=17×5=85；
(2)4032÷(8×9)
=4032÷8÷9
=504÷9=56；
(3)125×(16÷10)
=125×16÷10
=256×4
(4)2560÷(10÷4)
=2560÷10×4
＝1024；
(5)2460÷5÷2
=2460÷(5×2)
=2460÷10
=246；
(6)527×15÷5
=527×(15÷5)
=527×3
=1581；
(7)(54×24)÷(9×4)
=(54÷9)×(24÷4)
= 6×6=36。
练习20
用简便方法计算下列各题。
1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。
2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。
3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。
4.(1)(128+1088)÷8；
(2)(1040-324-528)÷4；
(3)1125÷125；
(4)4505÷17÷5。
5.(1)384×12÷8；
(2)2352÷(7×8)；
(3)1200×(4÷12)；
(4)1250÷(10÷8)；
(5)2250÷75÷3；
(6)636×35÷7；
(7)(126×56)÷(7×18)。