上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
例1 将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为
21×2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有
2+6+7=15和3+4+8=15，
故有左下图的填法。
如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。
例2 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于
11×3-(1+2+…+6)=12。
1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。
如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是1～6，不合题意。
同理，三个重叠数也不能是3，4，5。
经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。
例3 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于