生活中的许多事都蕴含着数学思想，我们先看一个猜数游戏。甲心中想一个32以内的数，乙只许问“比某数大吗？”甲只回答“是”或“不”，那么乙最多5次必可猜中。比如甲想的是23，下面是5次提问与回答：

（1）“比16大吗？”，“是”；（2）“比24大吗？”，“不”；

（3）“比20大吗？”，“是”；（4）“比22大吗？”，“是”；

（5）“比23大吗？”，“不”。于是乙猜中甲想的23。

这里乙用的是对分法。32的一半是16，第1次问话后，乙知道甲想的数在17～32之间； 17～32中间的数是24，第二次问话后，乙知道甲想的数在17～24之间。依此类推，因为32=25，经5次对分，必猜中。

对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。

例1有1000箱外形完全相同的产品，其中999箱重量相同，有1箱次品重量较轻。现有一个称（一次可称量500箱），怎样才能尽快找出这箱次品？

分析与解：因为称量一次只有两种结果：等于规定重量或轻于规定重量，所以可用对分法。先取500箱称，若等于规定重量，则次品在另500箱中；若轻于规定重量，则次品在这500箱中。然后对有次品的500箱再对分，取其中的250箱称……因为1000＜1024=210，所以经过10次称必可查出次品。

若一次试验可以有三种不同的结果，则可用三分法。

例2 现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？

分析与解：因为天平称重有三种结果；①两边一样重，②左边重，③右边重，所以可以用三分法。

先将81粒珍珠三等分，在天平两边各放27粒珍珠，天平下还有27粒。若两边一样重，则假珍珠在天平下的27粒中；若左边重，则假珍珠在天平右边的27粒中；若右边重，则假珍珠在天平左边的27粒中。

然后再将有假珍珠的一堆三等份，继续上面的做法。因为81=34，所以只需要称4次就可将假珍珠挑出来。

我们再看看“空瓶换酒问题”。

例3某商店出售啤酒，规定每5个空啤酒瓶能换1瓶啤酒。张叔叔家买了80瓶啤酒，喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒？

分析与解：我们按照实际换酒过程分析：

喝掉80瓶啤酒，用80个空瓶换回16瓶啤酒；

喝掉16瓶啤酒，用16个空瓶换回3瓶啤酒余1个空瓶；

喝掉3瓶啤酒，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶。此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶啤酒，喝完后将空瓶还了。

所以，他们家前后共喝到啤酒80+16+3+1=100（瓶）。

解例3的关键是：正确运用“5个空瓶可换1瓶啤酒”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始酒的瓶数很多，那么这个换酒的过程就会很长。有没有简便的算法呢？注意到“每5个空瓶可换一瓶啤酒”（连酒带瓶）这个条件，可知每4个空瓶就能换到一瓶啤酒（不带瓶），那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶啤酒，所以张叔叔家前后共能喝到80+20=100（瓶）啤酒。综合式是80+80÷（5-1）=100（瓶）。

有了上面的简捷思路，求解类似的问题就简单多了。

例4一块钢锭可以铸成25个机器零件的毛坯，每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭10块，最多可以加工多少个机器零件？

分析与解：这类“铸坯加工零件”问题显然也属于“空瓶换酒”问题。由“每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯”可知，实际每加工5个机器零件只需要4个机器零件的毛坯（没有脚料），即每

（个）机器零件。注意，此处不能使用四舍五入，只能使用去尾法。综合式是

也可以这样想：因为每加工5个机器零件只需要4个机器零件毛坯（没有

10≈312（个）机器零件。综合式是

例5 5个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了189瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶？

分析与解：本题告诉了按空瓶换汽水的原则和共能喝到的汽水，反过来求原先至少要买的汽水瓶数。根据“5个空瓶可以换1瓶汽水”（连汽水带瓶）

能喝到189瓶汽水呢？显然至少应买汽水

注意，此处不能使用四舍五入，只能使用收尾法。

综合式是

下面，我们讲讲如何利用对称的思想来分析解决问题。

例6 甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？

分析与解：这道题初看太抽象，既不知道圆桌的大小，又不知道硬币的大小，谁知道该怎样放呀！我们用对称的思想来分析一下。圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）。所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点。由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币。也就是说，只要乙能放，甲就一定能放。最后无处可放硬币的必是乙。

甲的获胜策略是：把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。

这种利用对称思想的获胜策略体现出了一种机智，而这种机智来源于数学思想。同学们经常进行这种锻炼，就会变得越来越聪明。比如，有两堆火柴，第一堆20根，第二堆25根，甲、乙二人轮流从中取火柴，每次可以从任一堆中取走任意数量的火柴，取走最后一根火柴者胜。甲先取，怎样才能保证获胜？利用对称的思想分析，只要甲先从第二堆中取走5根，此时两堆火柴的数量相等（也是一种对称），以后无论乙从哪一堆取多少根火柴，甲都对称地从另一堆取相同数量的火柴，只要乙能取，甲就能取，所以最后一根必被甲取走，甲胜。

例7 十个相同的圆摆成左下图所示的形状，过其中两个圆的圆心A和B作直线，求直线右上方圆内总面积与直线左下方圆内总面积的比。

分析与解：我们把直线AB以及AB经过的四个圆单独画成右上图，此图关于C点对称，所以这四个圆正好被平均分成两部分，即直线两侧的面积各为2个圆面积。所以在左上图中，直线右上侧圆内面积总和是4个圆面积，直线左下侧圆内面积总和是6个是圆面积，两者的面积比是4/6=2/3。

练习30

1.甲、乙玩猜数游戏。甲在心中想好一个1000以内的数，乙只许问“比某数小吗？”甲只回答“是”或“不是”。那么乙最少问几次就一定能猜中这个数？

2.现有700粒相同的珍珠和1粒外形相同、重量略轻的假珍珠，用一台天平至少称几次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？

3.某校开运动会，学校给同学们买来50箱汽水，每箱24瓶。由于商店规定每6个空瓶可换到一瓶汽水，所以同学们每喝完6瓶汽水就去换一瓶，这样他们共能多喝多少瓶汽水？

4.一块铝锭可铸成20个机器零件毛坯，每4个毛坯车成零件后的铝屑又能铸成一个毛坯。那么7块这样的铝锭最多能车成多少个机器零件？

5.某校开运动会，打算发给1000位学生每人一瓶汽水，由于商店规定每6个空瓶可换到一瓶汽水，所以学校不必买1000瓶汽水，那么最少要买多少瓶汽水？

6.有一艘轮船停在港口里，轮船的外舷有一软梯，软梯的第一级正好挨着海面，往上每隔20厘米有一级。这时海水正在涨潮，每小时上涨30厘米。问：经过多长时间，海水涨到软梯的第四级？

7.红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。这时红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多？