一、分数与除法
在自然数集合里，加法和乘法运算总是可以实施，但减法和除法却不行；引入分数，自然数集合扩充为非负有理数集合后，除法运算才变得畅通无阻。
例如，3÷4＝？在自然数集合里找不到一个与3÷4对应的自然数，而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数，与3÷4对应，即3÷4＝。
如何理解3÷4＝的数学意义呢？
⑴表示3是4的。其中3与4表示不同的两个量，而是量数，是以4为基准量去度量3所得的结果。
一般地，a、b都是非零的自然数时，a÷b＝。
⑵表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。这里，3和都表示量，而4是量数。
事实上，任意两个正有理数相除，都具有上述两种数学意义。
例如“3÷＝？”也有下面两种数学意义：
⑴3是的几分之几？
从上图，可以看出：3÷＝。
⑵3平均分成份，每份是多少？
因为是5个的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下图所示。
从上图，也可以看出：3÷＝。
注意：a、b都不是0，但只要有一个是分数，那么a÷b≠。
所以，如果忽视必要的前提，笼统地说被除数即分子、除数即分母，是不正确的。当且仅当a、b都是不为零的自然数时，等式a÷b＝才成立。这个命题还告诉我们，分数可以转化为除法，这为分数化为小数打通了一条重要途径。
二、百分数
百分数是否就是分母是100的分数？如果是，又何必需要这个新概念呢？
事实上，百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。我们先来解决下面的实际问题：
在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。
队员
踢点球的次数
罚中的次数
3号队员
18
20
5号队员
21
25
7号队员
13
12
从这个实际问题抽象成的数学问题是：比较分数、、的大校
解法1：（化为同分母的分数进行比较）
＝，
＝，
＝。
因为＞＞，
所以＞＞。
由此可知，7号队员以往罚点球的成绩最佳，派他去罚点球是明智的选择。
不过，上面三个分数分母的最小倍数（1300）是比较大的，因此通分不仅比较费劲，也容易出差错。
解法2：（化为小数进行比较）
＝18÷20＝0.90，
＝21÷25＝0.84，
＝12÷13＞0.923。
因为0.923＞0.90＞0.84，所以＞＞。
化为小数，虽然可以借以比较分数的大小，但小数却失去了原来分数的特性，即表示量的倍比关系的意义。因此，需要寻找既能保持分数的特性，计算又比较简便的解题方法。就在这种需要的驱动下，百分数应运而生了。