最优方法已经走到极限
“自适应有限元方法的思想最早出现在1978年，美国数学家Babuska完成了这一方法的基本理论，但那个时候，自适应有限元方法被用来解决一些比较简单的数学模型问题，而我的工作就是用它来解决比较复杂和困难的工程问题。”办公室里，陈志明轻描淡写地对记者说着自己在国际数学家大会上作的报告。
不过，从简单问题到复杂的工程问题，这个方法要经历和解决的困难却无法轻描淡写。
自适应有限元方法以常规有限元方法为基础，以后验误差估计和自适应网格改进技术为核心，通过自适应分析，自动调整算法以改进求解过程。“从方法论角度来说，人们已经得到结论，自适应是用有限元方法解微分方程的最优离散方法。”陈志明说，在微分方程求解的有限元道路上，自适应已经是数学上能找到的“极限” 方法了。
在实际生产实践中，很多工程问题的解决都要用到微分方程，但用计算机求解微分方程需要进行大量计算。有时候，为了把误差控制在足够小的范围内，需要进行上亿次的运算，这对一般计算机来说非常吃力。有时即便进行上百亿次运算，也无法把误差控制在理想范围之内。为了减少运算次数、控制误差范围，显然，需要更好的求解方法。
“用有限元方法解微分方程有三步：设计网格、在网格上将微分方程离散、解代数方程。其中，设计网格是最关键也是最困难的一步。”所谓设计网格，就是把计算区域划分为有限个互不重叠的单元，陈志明告诉记者，人们往往根据经验来划分网格，有时需要反复尝试多次才能找到比较合适的划分方法，而尝试过程也需要进行大量运算。