济南市大明湖小学 张洪英
【教材简析】“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，通过让学生经历构建数学模型的过程，渗透数学思想方法，培养逻辑思维能力，同时使学生尝试使用多种方法解决问题，并进行方法优化，从而体会解决问题方法的多样性。
【教学内容】
人教版小学数学六年级上册第112—115页数学广角《鸡兔同笼》，第一课时。
【学情分析】
“鸡兔同笼”问题对于六年级的学生来说虽然陌生，但依据以往的知识基础和数学活动经验也是可以解决的。学生可能出现的方法有列举法、方程法、猜测调整法等等，这在一定程度上体现了解决问题方法的多样性，其中又以方程法的思路最好理解。但因为小学阶段学生接触的方程都比较简单，所以在解方程的过程中可能会出现一些困难。也可能会有部分学生原来接触过此类题目，大多直接采用“假设法”，但这种方法对一部分学生来说比较难以理解。
因此，我在这节课中借助“长腿”这一模型以画图的形式把假设的思想方法具体化、形象化，便于学生理解和掌握，让学生在用模的过程中逐渐体会假设这一思想方法的内涵。
【教学目标】
1、使学生了解“鸡兔同笼”问题，感受我国古代数学问题的趣味性和解法的巧妙性。
2、尝试用不同的方法解决问题，并体会代数方法的一般性。
3、渗透化繁为简的思想，经历数学思想具体化的过程，构建数学模型。
【教学重点】
1、尝试用不同方法解决“鸡兔同笼”问题。
2、通过画图操作构建数学模型，并应用模型解决问题。
【教学难点】
在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。
【设计意图】
这节课所采用的“长腿法”实际上是假设法的一种。因为假设这种思想方法对学生来说具有一定的思维难度，不能被所有学生所理解和掌握，因此在这里借助“长腿”这一模型把假设的思想方法具体化、形象化，让学生在用模的过程中逐渐体会假设这一思想方法的内涵。
【教学准备】
课件，2分、5分硬币若干。
【教学过程】
*课前交流
①猜
师：这个盒子里全都是2分和5分的硬币，从中任意拿出5枚，谁来猜一猜，老师手里有多少钱？（1角，1角3分，1角6分，1角9分，2角2分，2角5分）
生1：可能是1角9分。
师：你怎么想的？
师问：他猜的这个结果，有这种可能吗？ 生：有可能。
师：你猜是多少？ 生2：我猜的是1角6分。
师： 有这种可能吗？ 生3：……
师：大家猜的都有可能。 你觉得这些钱最多是多少？最少呢？
所以，我手里的钱应该在10——25分之间。
（师张开手掌，让第一排同学看，出示答案：是多少钱，）
师：在这个范围内吗？谁猜对了？
②想
（再从盒子里抓一把）
师：现在我手里有7枚硬币，一共23分，谁知道这里面有几个2分的、几个5分的呢？ （看来有的同学能猜出来，还有的同学没有思路，不过没关系，等学完这节课相信你就能很轻松的解决这个问题了）
（修改原因：课前交流在原有“猜”的基础上增设“想”的环节，激发学生参与的热情和学习兴趣，渗透本节课的数学思想方法，使课前交流与新课内容联系更加密切，为新课的导入埋下伏笔。）
③准备好了吗？我们开始上课？上课！
一、推导算法、构建模型
1、口述题目，创设语言情境：
师：在神奇的动物王国里，有一所美丽的大房子，里面住着鸡和兔，数了数头有5个，腿有16条。聪明的你，知道有几只鸡，几只兔吗？
师：题目中还藏着两条信息呢，想一想，是什么？（鸡2条腿，兔4条腿）
（修改原因：原有图片投影打出的效果不清晰，对问题的导入帮助不大，且在一定程度上对学生从中提取所需数学信息有一定的负作用，因此直接改为口述题目，设置语言情境。）
【从现实情境中抽象出数学问题，使条件明朗化，便于学生分析。】
2、 尝试自己解决这个问题
师：把你的解题过程记录在本子上，做完以后先验证一下看看符合题目要求吗，再和同位交流一下。
（修改原因：原有小组合作虽然有利于学生互相探讨，但在这一环节优势不明显，反而容易干扰学生思考。因此改为学生独立尝试解决问题，之后的同位交流是学生互相启发，产生思维共鸣。）
【调动学生已有经验，尝试用不同方法解决问题。】
3、 学生展示自己的方法
可能出现以下几种情况
① 列举法（列表）
|
鸡 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
兔 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
总脚数 |
20 |
18 |
16 |
14 |
12 |
10 |
师：大家先来验证一下，…答案对不对？
像这样把各种情况都列举出来的方法叫做列举法。（板书：列举法）
谁用了列举法？请举手。 还有不同的做法吗？
② 假设法
学生讲解：方法一：假设都是兔子，共有4×5=20条腿，现有16条，20－16=4条腿，一只兔子比一只鸡多2条腿，所以鸡有4÷2=2（只），兔有5-2=3（只）
方法二：假设都是鸡，共有2×5=10条腿，现有16条，16－10=6条腿，一只兔子比一只鸡多2条腿，所以兔有6÷2=3（只），鸡有5-3=2（只）。
师：有没有问题要问他？ 学生质疑，答疑。
师：这种方法叫做假设法。（板书：假设法）
用了这种方法的同学请举手。 还有没有不同的方法？
③ 方程法
解：设有x只兔，鸡有(5-X)只，
4X+2×(5-X)=16
4X+10-2X=16 鸡：5-3=2(只)
2X=6
X=3
师：这是用了方程法，（板书），用这种方法的请举手。
④ 画图法（图略）
⑤ 猜测——调整法
先猜鸡有几只，兔子有几只，再根据腿数来调整。
（修改原因：增加验证环节，先来明确答案的争取性，然后对方法进行小结，凸显解决问题方法的多样性。）
师：大家的方法都很好，老师这里也有一种方法可以解决这个问题，叫“长腿”法，听说过吗？一起来看。
4、 画图，生成长腿法
（1）先画5个圆，这就是5只动物
师：这里有16条腿。想一想，要给这5只动物长腿，应该怎么长？生思考。
（2）师：（停几秒钟）谁上来试试？
学生给鸡兔长腿（直接长；或先猜着长再调整；遇困难，师：谁上来帮帮他？）
师：大家注意观察。
（3）（学生给鸡兔长完腿后），师：我们先来验证答案，···对不对？
你给大家说说，（你是怎么想的？）应该怎么给它们长腿呀？
（4）师：大家有问题想问他吗？
（①为什么第一次长两条腿？②剩下的腿都是谁的？③为什么一个头上再长2条腿呢？④怎么知道再长几次？）
（5）师：这就是“长腿法”
（修改原因：以学生的基础来看，自己尝试画图长腿是可以实现的，虽然这种情况仅限于思维较活跃的学生，但却能使学生亲历知识的生成过程，且学生之间更容易进行思维上的交流，对课堂学习的参与度提高，因此，把教师引导“长腿”改为学生自己尝试“长腿”。）
师：现在请大家回想一下刚才我们是怎么给这5只动物长的腿。
同位两个互相说一说长腿的过程，边说边用手比划着画一画。
【把长腿法用画图的过程呈现出来，使学生亲历学生构建模型的过程。】
2、如果笼子里的鸡和兔子共8只，腿26条，鸡兔各几只呢？
师：用刚才的长腿法画图来试试，可以同位两个商量着画。
学生自己画图。
展示学生作业
师：我们让他来说一说：一只动物先长几条腿？一共长几条腿？还有几条腿？一只动物再长几条腿？为什么？能长几次？怎么想的？
师：谁还有问题要问？
【学生自己尝试画图，体会模型的应用。】
6、揭题：今天我们研究的就是 “鸡兔同笼”问题。（板书课题：鸡兔同笼）
7、介绍《孙子算经》
我们做的这种鸡兔同笼问题最早出现在《孙子算经》中。（出示《孙子算经》资料）
《孙子算经》约成书于1500多年以前，现在的传本共三卷，是我国古代一本非常著名的数学巨著，里面记载的许多数学趣题和解题方法要比西方国家早1000多年，是我国劳动人民智慧的结晶。
8、其中下卷第31题可谓是“鸡兔同笼”问题的始祖
（1）课件出示：下卷31题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
师：谁能把它翻译成现代汉语？
（2）学生说题意，师板书：35只，94条腿
（3）自己试着画图解决这个问题。
学生自己画图。
师：35只鸡和兔，一个一个的画麻烦吧？有没有好一点的办法可以让图简单点呢？ 生：…
师：这样行不行？（板书，使用省略号的画法）
（4）学生展示，讲解。
（5）想一想，长腿的过程用算式怎样表示？写在你画的图旁边。
（6）大家有问题要问吗？（或师质疑：这个“2”怎么来的或“这一步求的是什么”？处理“4-2=2”的问题）
【在画图的过程中使用省略号，是模型进一步精简的体现，也促进学生思维能力的发展。】
学生展示：
问：第一次一共长了几条腿？你怎么知道的？用个算式表示，板书：35×2=70，
还剩多少条腿？列式：94-70=24（条），每只兔子再长几条？4-2=2（条），有几只兔子？24÷2=12（只），鸡：35-12=23（只）
（7）师：你能把这些小算式整合成综合算式吗？
学生尝试列综合算式，展示，说每一步的含义。
板书：
兔：（94-35×2）÷（4-2）=12（只） 鸡：35-12=23（只）
9、小结：
①师：刚才我们做的题目有什么共同点？
②长腿法和假设法的联系
师：（边讲边板书算式）假设都是鸡，共有腿数35×2=70（条），原有94条，相差94-70=24（条），每只兔子比每只鸡多腿：4-2=2（条），用一只兔子替换一只鸡，一共可以替换24÷2=12次，所以有兔12只，鸡35-12=23（只），你会发现我们的长腿法和假设法有相通之处，但是用长腿法画图理解起来更简单。
（修改原因：增加对题目特点的小结，使学生更加明确“鸡兔同笼”问题的结构特点。）
二、应用模型，解决实际问题：
（一）出示题组，说联系
1、 “龟鹤问题” （师：“鸡兔同笼”问题传到日本时就变成了“龟鹤问题”）
课件出示（指名读）： 有龟和鹤共40只龟的腿和鹤的腿共有112条,龟、鹤各有几只?
师：想一想，龟和鹤，鸡和兔，有什么相同之处吗？生：…
师：会做吗？
2、（课件出示）有四轮小轿车和十轮大卡车共20辆，共152个车轮，各几辆？（1）师：此题中的事物与鸡兔同笼之间有什么联系？
（2）生先思考，同位互说，指一生说说。
师：想一想，每辆车先安几个轮？再每一辆车安几个轮？
3、（课件出示） 38人租了8条船，每条船都坐满了，每条大船坐6人，每条小船坐4人，大、小船各几条?
（1）师：此题中的事物与鸡兔同笼之间有什么联系？
（2）生先思考，同位互说，指一生说说。
【使学生建立数学模型和生活中实际问题的密切联系，明确题目条件和鸡兔头和腿的联系。】
（修改原因：将题目逐一出示分析，使学生更加明确题目和鸡兔同笼问题的联系，并能用画图解释。）
（二）独立解决，自我检查。
1、师：以上三个题，请大家任选一道题来做。可以用画图长腿法来做，不用画图直接列出算式来计算也可以。做得快的同学可以多选几道来检验自己，做完后和同位交流一下。
2、学生选题，解答，自查，同位互相交流。
3、全班交流：
师：选第1题的同学请举手。指名来给大家讲一讲。
我们先来验证答案，师：做对的同学把手举高。
……
【培养学生自我检查、善于思考的能力，产生思维碰撞，进行方法模型的优化，教师也借此了解学生的不同情况。】
4、解决硬币问题
师：现在再看课前的硬币问题，很简单了吧？用最快的速度算出来。
【处理课前交流时出现的问题，使数学和生活的密切联系更加明朗，使课堂首尾呼应】
三、课堂总结，优化模型
师：学完这些内容，你有哪些收获？先和你的同位说一说。
谁愿意和全班同学交流一下？
【通过整理本节课的收获，使学生巩固“鸡兔同笼问题”的数学模型，使之真正成为个人经验并能加以应用，深化对假设数学思想方法的认识。】
四、拓展延伸
师：同学们说得都很好，现在老师这里有一道重量级的题目，有没有勇气挑战它？
课件出示题目：
松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个,平均每天采14个,这几天中有几天是雨天？
【给出稍有难度的题目，对学生来说是一个挑战，有利于激起他们研究的兴趣，课下继续解决问题，将有限的数学课堂延伸到生活中。】
板书设计：
