知识要点:选用基准数和利用高斯求和进行巧算
重点及难点:选用适当的基准数
当许多大小不同而又比较接近的数相加时,我们可以选择其中一个数或接近于这些数的整十数作为计数的基础,所选的这个数我们叫做基准数。再把大于基准数的加数分成基准数与某数的和,把小于基准数的加数用基准数减去某数的差的形式表示,最后再利用加、减运算进行简便计算。
例1: 计算:11+12+13+14+15+16
这样想:上面算式中的6个加数都接近于10,我们把10当作基准数,每个加数都可分成基准数与某数的和。
11+12+13+14+15+16
=(10+1)+(10+2)+(10+3)+(10+4)+(10+5)+(10+6)
=10×6+(1+2+3+4+5+6)
=60+21
=81
例2:计算:16+17+18+19
这样想:上面算式中的4个加数都接近于20,我们把20作为基准数,每个加数都可用基准数减去某数的差的形式表示。
16+17+18+19
=(20-4)+(20-3)+(20-2)+(20-1)
=20×4-4-3-2-1
=80-(4+3+2+1)
=80-10
=70
在拓展课堂中,老师曾经给小朋友讲过数学家高斯小时候巧妙解题的故事,你们还记得他用了什么方法解题吗?下面我们就用高斯求和的方法进行巧算。
例3:计算:1+2+3+4+5+6+7+8
这样想:我们发现:1+8=9,2+7=9,3+6=9,4+5=9,共有4个9。
1+2+3+4+5+6+7+8
=(1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5)
=9×4
=36
例4:计算:1+2+3+4+5+6+7
这样想:首先,我们把加法算式抄下来,然后再把这个算式倒着抄一遍,如下:
1+2+3+4+5+6+7
7+6+5+4+3+2+1
容易发现,两个加式上下相对的两个数相加的和都是8,共有7个8,但是,7个8的和是两个1+2+3+4+5+6+7的和,所以原加式的和等于7个8的和的一半。
1+2+3+4+5+6+7
=(1+7)×7÷2
=8×7÷2
=56÷2
=28
还可以这样想:上面的算式有7个加数,其中4是中间的一个,我们可以把4当作基准数,每个小于基准数4的用基准数4减去某数的差的形式表示,每个大于基准数的用基准数与某数的和的形式表示。
1+2+3+4+5+6+7
=(4-3)+(4-2)+(4-3)+4+(4+1)+(4+2)+(4+3)
=4×7-3-2-1+1+2+3
=4×7+0
=28
[解题招术]其实,单数个连续的数相加,我们只要用
正中间的那个数(当作基准数)乘以加数的个数,乘
积就是这些加数的和。以例4为例,题中加数共有7
个,4是中间的一个,所以这些加数的和就等于
4×7=28。
通过这一讲的学习,我们发现,其实很多算式都有不同的计算方法,我们要积极开动脑筋,找出最巧妙的方法。