同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题,这一讲就来讲解这个问题。

 例1两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?

 分析与解:将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情况:

15=1+14,1×14=14;

15=2+13,2×13=26;

15=3+12,3×12=36;

15=4+11,4×11=44;

15=5+10,5×10=50;

15=6+9,6×9=54;

15=7+8,7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和,这两数的乘积最大。

 结论1如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大。

 例2比较下面两个乘积的大小:

a=57128463×87596512,

b=57128460×87596515。

 分析与解:对于a,b两个积,它们都是8位数乘以8位数,尽管两组对应因数很相似,但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现,因为57128463比57128460 多3,87596512比87596515少3,所以它们的两因数之和相等,即

57128463+87596512=57128460+87596515。

因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差,根据结论1可得a>b。

 例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园,围成菜园的最大面积是多少?

 分析与解:已知这个长方形的周长是36米,即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为

长+宽=36÷2=18(米),

由结论知,围成长方形的最大的面积是9×9=81(米2)。

 例3说明,周长一定的长方形中,正方形的面积最大。

 例4两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?

 分析与解:48的约数从小到大依次是1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。

所以,两个自然数的乘积是48,共有以下5种情况:

48=1×48,1+48=49;

48=2×24,2+24=26;

48=3×16,3+16=19;

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