在第一讲中已经指出，小学数学学习过程从本质上讲是一个数学认知过程，即学生在老师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构的过程。这个过程包含着感知、理解、保持和应用等系列复杂的心理活动，下面对这些心理活动进行简要分析。

一、数学知识的感知

（一）感知的意义及其在小学数学学习中的作用

感知是感觉和知觉的合称。感觉是当前客观事物的个别属性在人头脑中的反映；知觉是当前客观事物的整体及其外部联系在人头脑中的反映。感觉和知觉是两个既有严格区别又有密切联系的不同概念。它们的区别主要是感觉是对客观事物个别属性的反映，知觉是对客观事物整体的反映。它们的联系一是都是直接作用于人的感官的客观事物在头脑中的反映；二是知觉是在感觉基础上形成的，感觉是构成知觉的成分和基础。在实际认识事物的过程中感觉和知觉常常是密不可分的，正是由于它们之间具有这种不可分割的联系、所以人们经常把两者合称为感知。

从具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，这是人类认识发展的基本规律。小学数学学习作为一种特殊的认识过程更是离不开感知，感知对小学生获取数学知识具有特别重要的作用。首先，感知是小学生获取数学知识的第一步，特别是那些和原有知识联系不太紧密的全新知识，学生的学习一般都必须从感知开始，先通过对感性材料的操作或观察获得感性认识，然后在感性认识的基础上抽象出概念的本质属性和原理的普遍意义。其次，学生理解和掌握数学知识离不开表象，而表象又是过去感知过的事物形象在头脑中的重现，很明显没有感知就没有表象，没有表象就没有数学知识的掌握。另外，感知特别是操作和观察等活动还能为学生的思维过程提供必要的支持，保证学生在理解数学知识过程中抽象逻辑思维能够顺利进行。如一年级学生学习用“凑十法”计算9＋2时，往往难以连续完成“把2分成1和l”、“9加1等于10”、“10加1等于11”的思维过程，此时如果让学生边摆小棒边计算或者边观察老师的操作边计算，学生的计算思维过程就会比较顺利地进行下去。

（二）感知规律在小学数学学习中的应用

感知作为一种复杂的心理活动过程，在活动中有其自身的客观规律，对数学学习有直接影响的感知规律主要有以下几条。

1．强度律。

强度律是指被感知的对象必须达到一定的刺激强度，才能获得清晰的感性认识。这一规律要求学生在数学学习中要处理好刺激的强弱的关系，既要注意感知对象的强刺激部分，同时也要注意感知对象的弱刺激部分，特别是要高度重视那些对完成解题任务至关重要的弱刺激部分。如对应用题中“增加到”、“增加了”、“减少到”、“减少了”等文字的感知，就不能只重视“增加”和“减少”等强刺激部分，要特别注意“到”和“了”等弱刺激部分，因为它们对解答应用题来说具有和强刺激同等更重要的作用。

2．差异律。

差异律是指被感知对象与它的背景之间要有一定差异才能感知清楚，并且对象与背景之间的差别越大感知越清楚。这一规律要求教师在指导学生观察实物、模型和图形等感知对象时，尽量利用不同色彩。从不同角度在背景中突出观察对象的关键部位，使学生更加清晰地认识数学概念的本质特征。如计算平面组合图形面积时，就应尽量提供用不同颜色画出的组合图形，便于学生在观察中区分要观察的对象和背景，由此更清楚地发现图形的组合方式和求组合图形面积的方法。

3．活动律。

活动律是指运动的对象不仅比静止的对象更容易引起人的注意，而且能提高感知的效果。活动律要求我们在进行直观教学时尽量多使用活动教具，特别是现代教学技术。让学生通过观察能反映某些现象变化过程的动态画面对所学数学概念、原理获得更加丰富的感性认识。如利用计算机多媒体技术动态地反映圆变成近似长方形、圆柱体转化成近似长方体的过程，学生就更容易全面感知和理解圆面积、圆柱体积计算公式的推导过程。又如，教学相遇问题时、引导学生观察能反映“相遇”意义的活动教具的演示或动画，就更有利于学生在头脑里建立起“相遇”的正确表象。

4．变式律。

变式律是指不断变换感性材料的呈现形式，使感知对象的本质属性不变而非本质属性不断变化，以便排除非本质属性的干扰，从而更好地突出感知对象的本质属性。这一规律给小学数学学习一个重要启示，那就是学习时不仅要让学生感知感性材料的标准形式，而且还要注意感知感性材料的变式，特别注意让他们利用变式材料去进一步认识所学内容的本质属性，以此在头脑里更好地建立起感知对象关键特征的表象，从而为后面数学知识的理解提供可靠的依据。如学习梯形时，除了让学生感知水平放置的并且都是上底短、下底长的标准图形外，还应让他们全面观察下面不同形状和位置的梯形。通过这些变式图形排除形状、大小、放置位置等无关特征对梯形本质属性的干扰，从而更好地突出梯形“识有一组对边平行”的本质属性。

5．协同律。

协同律是指在感知过程中多种感觉器官协同配合可以提高感知效果。协同律告诉我们，在小学数学教学中让学生把操作、观察、触摸等多种感知活动有机地结合起来，使多种感官共同参与，协同配合，能获得更加丰富的感性认识。如学习“20以内进位加法”时，就可引导学生把观察老师的教具演示和学生自己的学具拼摆结合起来，通过动作和观察等多种感知活动的协同配合，帮助学生在头脑里更好地建立起“凑十”过程的表象。

二、数学知识的理解

（一）理解的涵义及过程

理解是指个体运用已有的知识经验去认识未知事物的属性、联系和关系，逐步认识新事物的本质和规律的思维活动过程。它的结果是个体对未知对象或现象作出的解释，实现对所学新知识的理性认识。理解是小学数学学习过程中的一个关键环节，其实质是在感知的基础上，通过思维加工，使新的数学知识同学生认知结构中的原有知识发生相互作用，并将新知识和原有知识融为一体内化为学生的认知结构的过程。理解既是数学知识感知的升华，又是数学知识保持和应用的基础，没有理解就没有数学知识的掌握。

小学生对数学知识的理解是由浅入深逐步深化的。首先，在感知基础上对头脑里所形成的知识表象作初步加工，形成一些比较笼统的、粗糙的认识，这是对数学知识的初步理解。然后，在初步理解的基础上对所学数学知识进一步作比较精确的理解，这种理解是对数学知识本质和规律的理解。其结果是对所学数学知识有比较全面而深刻的认识。对于一些要求熟练掌握的数学知识还应让学生作更深刻地理解，使理解达到融会贯通的水平。从创新教育的角度来讲，还应去鼓励学生创造性地理解数学知识，让他们发表与教材描述和老师讲解不相同的独特见解，提出与众不同的解题思路不过，这是一种高层次的理解，不宜要求所有学生在所有知识的学习上都达到这种理解水平。

（二）影响数学知识理解的主要因素

理解作为一种复杂的心理活动过程，它要受多方面因素的制约。对数学知识理解影响较大的因素主要有以下几个方面。

l．理解学习的心向。

影响学生对数学知识理解的首要因素是学生是否具有通过自己积极的思维活动，实现对所学数学知识本质和规律认识的心理愿望。如果学生没有这种心理愿望，那么他们就可主要依靠机械记忆数学概念的定义和公式、法则的运算规定去掌握数学知识。如对分数除法法则的理解，首先学生要有搞清楚分数除法怎样计算和为什么要这样算的强烈愿望，否则就只能通过机械记忆和简单模仿“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数”的运算规定去掌握其计算方法。

2．原有知识掌握水平。

奥苏伯尔的有意义学习理论告诉我们，任何有意义的学习都是在原有知识基础上进行的，不受原有认知结构影响的学习活动是不存在的。很明显，学生对所学新的数学知识能不能理解、关键要看他们头脑里的已有知识及其掌握水平。一方面看他们原有认知结构中有无理解新知识所必需的知识准备，如理解异分母分数加减法的计算法则，首先要看学生头脑里是不是有分数的基本性质、通分和同分母分数加减法法则，如果不具备这些知识准备是根本不可能实现异分母加减法法则的理解的。另一方面还要看学生头脑里已有知识的掌握水平，如果原有知识掌握得清晰、稳定，那么新旧知识之间就容易建立起实质性的联系；反之，如果学生头脑里的原有知识模糊不清，那么新知识就难以和学生头脑里的原有知识发生相互作用并被内化为学生的数学认知结构。

3．学习材料的性质。

学习材料的性质特点对数学知识的理解具有直接的影响，这种影响主要体现在两个方面：一是学习材料本身有无逻辑意义对理解的影响，如果学习材料本身具有逻辑意义，学生理解起来就比较容易；反之，理解起来就困难。如枯燥的数字、单调的单位名称等学习材料，小学生就不易理解。二是学习材料的表达形式对理解也有重要影响，如问题“果园里有桃树240棵，杏树比桃树多，杏树有多少棵？”就比“果园里有桃树240棵，桃树比杏树多，杏树有多少棵”容易理解。如果将后面一个问题改为“果园里有桃树240棵，杏树比桃树少，杏树有多少棵？”学生理解起来就不会有多大困难（这实际上表明，顺向思维的应用题比逆向思维的应用题好理解）。

学习材料对理解的影响给数学学习一个重要启示。那就是对抽象的数学知识，特别是那些需要逆向思考的数学问题，学习时可通过变换叙述形式把逆向思考的问题转化成顺向思考的问题。可以降低理解难度，提高理解效果。

4．思维发展水平。

由于理解是通过思维活动实现的，所以学生的思维发展水平对理解也有重要的影响、首先，它要求学生具有一定的逻辑思维能力，能够有条理有根据地思考问题，会正确运用分析、综合、比较、抽象、概括等思维方法去对新的数学知识内容及其表象进行思维加工，从中抽象出学习内容的本质或规律。如理解“梯形”概念时，逻辑思维发展水平较高的学生就比较容易根据感知阶段所获得的梯形表象抽象概括出梯形”只有一组对边平行”的本质属性。反之，理解就比较困难。理解还要求学生具有较好的思维品质，特别要求学生具有思维的灵活性和敏捷性。只有这样，学生才能灵活运用已有知识，从不同角度全面理解学习内容。

其次，由于理解的对象主要是感知阶段所获得的表象，理解的效果在很大程度上取决于对表象的思维加工水平。所以学生的形象思维发展水平对数学知识的理解也具有很大的影响。形象思维发展水平较高的学生不仅容易在感知活动中建立丰富的表象，同时在理解中还善于对表象进行合理的组合、加工、提炼，从而得到概念的本质属性和原理的普遍规律。

（三）促进数学知识理解的主要途径

促进学生实现数学知识理解的方法和途径是多种多样的，这里仅提出几种主要途径。

1．重视直观学习。

根据理解与感知的关系，在教学中要高度重视学生的感知活动，一方面在理解前引导学生充分利用操作和观察等感知活动全面感知学习材料，让他们在头脑里建立起所学数学知识的丰富表象，以此为理解过程中的思维加工提供材料和依据。另一方面在理解过程中，特别是在对那些非常抽象的数学知识理解过程中，教师要注意适时地给学生提供恰当的感性材料，以此为学生的抽象逻辑思维的顺利进行提供必要的支持，保证他们的逻辑思维得以顺利进行。

2．保证学生具有理解新知识所必需的知识基础。

根据原有知识掌握水平对新知识的影响，小学数学学习要高度重视学生的原有知识基础。首先，在理解新知识之前教师要检查学生的知识准备，看他们认知结构里具不具备理解新知识所必需的旧知识，如果不具备就先采取必要的措施给予补充，然后再引导他们理解新知识。其次，在理解新知识的过程中充分利用旧知识，通过新旧知识之间的联系去促进新知识的理解。如理解简易方程的解法时，就应引导学生充分利用四则运算各部分之间的关系去正确理解求解过程及每一步的算理。

3．加强对比分析。

展开不同数学知识的对比分析，明确相关知识内容之间的相同点和不同点，是揭示数学概念的本质属性和数学原理的普遍规律，实现数学知识理解的重要途径。在学习中特别是在那些既相似又容易混淆的数学知识学习中，教师注意引导学生运用对比的方法去理解所学内容；通过揭示不同内容之间的异同去实现对数学知识理解的准确无误。如在“方程的解”和“解方程”等概念的学习中，就可以用对比的方式去更加准确、深入地理解两个概念的本质属性，发现它们之间的区别和联系。

4．使知识系统化。

心理学研究表明：实现数学知识理解的重要标志是让学生在一定的知识系统中明确知识之间的联系。由此笔者认为，在教学中教师引导学生通过不断的归纳整理使所学知识形成一定的系统是加深数学知识理解的一条重要途径。特别是在概念学习中可通过建立概念体系去加深数学概念的理解，因为“一个科学概念的真正含义，就意指它在与其他概念的关系中处于一定的位置。”如有关分数的概念，如果学生能在分数的概念体系上利用各个概念之间的联系去理解就比孤立地去理解各个概念要深刻。对数的计算、量的计量、几何初步知识等内容，同样需要形成一定的知识系统，在相应的知识体系上去理解这些内容，更容易发现它们之间的联系和区别。