一例有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字，都和原来的六位数的数字完全相同，只是排列的顺序不一样，求这个六位数。设这个六位数为X.X 的首位数字一定是1.
为什么呢？
因为x 的首位数字大于1，比如说是2，那5x 和6x 就是七位数了。
一想，x、2x、3x、4x、5x、6x 的首位数字，应该一个比一个大，而且后面一个的首位数字，至少比前面一个的首位数字大1.这六个数的六个首位数字互不相同，按题意，就应该正好是x 的六个数字了。
x 的六个数字互不相同，首位数字是1，其余的数字都比1 大，所以x的数字都不是0.
现在，把注意力转移到末位数字上来。
一想，x、2x、3x、4x、5x、6x 的末位数字，也应该互不相同。
为什么呢？
因为，要是其中有两个数的末位数字相同，那么，这两个数的差的末位数字是0.可是，在x、2x、3x、4x、5x、6x 中，任意两个数的差，必须是x、2x、3x、4x、5x 中的一个。例如4x―2x＝2x，6x―5x＝x.既然它们的数字与x 的数字相同，也就不能是0 了。这样，六个数的末位数字，也就是x 的六位数字了。其中，一个是1.
一想，1 不是x 的末位数字。因为x 的首位数字是1.1 也不是2x、4x、6x 的末位数字。因为它们的末位数字是偶数，不可能是奇数1.1 也不是5x的末位数字。因为5x 的末位数字是5 或者是0.这样，我们便得到1 是3x的末位数字。
3x 的末位数字是1，那x 的末位数字是7.
x 的末位数字是7，那2x、4x、5x、6x 的末位数字分别为4、8、5、2.
x＝l××××7.其中的四个×，应该填上4、8、5、2.问题是谁先谁后呢？
一想，x、2x、3x、4x、5x、6x 这六个数的第二位数字，也应该是互不相同的。
为什么呢？
要是其中有两个数的第二位数字相同，那这两个数的差的第二位数字是0 或者是9.可是，这个差是x、2x、3x、4x、5x 中的一个，它的数字只能是1、4、8、5、2、7，不能是0 和9.所以，x、2x、3x、4x、5x、6x 的第二位数字，也恰好是1、4、8、5、2、7 这六个数字。
同样的道理，x、2x、3x、4x、5x、6x 的第三位、第四位、第五位数字，也都是这六个数字。
这和求x 有什么关系呢？
有关系。你看，x+2x+3x+4x+5x+6x＝21x.列成竖式，把这六个六位数相加，得第一位数字的和是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27，第二位数字的和是27，。直到第六位数字的和也是27.所以，这6 个六位数的和应当是∵21x＝2999997；
∴x＝142857.
最后，说一下这道难题是怎样设计出来的：
1 7＝0？142857142857142857.
x＝142857，是这个循环小数的循环节。的小数部分，与的小数部分相同，它们的循环节，也是由1、4、2、8、5、7 这六个数字组成。所以，用2、3、4、5、6 去乘142857，得到的数还是由1、4、2、8、5、7 组成，只是次序不同。