[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3
=(21+重叠数之和)÷3
=7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12。
与例2的方法类似,可得下图的四种填法:
每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12
例4将2~9这八个数分别填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。
分析与解:四个角上的数是重叠数,重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于
18×4-(2+3+…+9)=28。
而在已知的八个数中,四数之和为28的只有:
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1,1不是已知的八个数之一,所以,8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法:
“试填”的结果,只有右上图的填法符合题意。
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以
已知各数之和+重叠数之和
=每边各数之和×边数。
由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图,虽然大多数数阵问题要比它们复杂些,但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析,就能解决很多数阵问题。
例5把1~7分别填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。