自然数的平方――12，22，32.叫做平方数。要是一根火柴表示数字1，那么，不管用多少根火柴摆成111.111也不可能是平方数，除非只有一根火柴，可以得1=12.
为什么呢？
你已经算过：
（2n）2=4n2；
（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1.
这就是说，平方数有这样的特点：偶数的平方除以4 余0，奇数的平方除以4 余1.换句话说，要是一个整数除以4，余数不是0 或者不是1，那它就不是平方数。
我们知道，100，1000，10000，。都是4 的倍数。所以，一个正整数除以4 的余数，就是它的末两位数字所组成的数除以4 的余数。
这样，111.111 除以4 的余数，就是11 除以4 的余数，也就是3.根据前面所说，111.111 不是平方数。
同样的道理，22，222，2222，55，555，5555，66，666，6666，99，999，9999，都不是平方数。
平方数除以4 余0 或者1.可是，除以4 余0 或者1 的自然数，不一定是平方数。例如，33 就不是平方数。
33，333，3333，。除以4 都余1，其中有没有平方数，用上面的方法是无法判别的。不过，根据乘法，一个自然数的平方的个位数字是：
0×0=0，1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，4×4＝16，5×5＝25，6×6＝36，7×7=49，8×8＝64，9×9＝81.
也就是平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以，33，333，3333，77，777，7777，88，888，8888，都不是平方数。
44，444，4444，呢？因为平方数与非平方数的积是非平方数，所以，44＝4×11，444=4×111，4444＝4×1111，都不是平方数。
一个自然数的个位数字，就是它除以10 的余数。所以，上面所用的方法，就是根据一个自然数除以4 或者除以10 的余数，来证明它不是平方数的。