欧几里德小姐的立方体
第一个问题的答案是：要证明将一个4×4×4的立方体切成64个小立方体至少切六刀（切每一刀时都可以任意摆放每一块的位置），只需考察处于大立方体内部的8个小立方体中的任意一个。这种小立方体的六个面都处在大立方体的内部，没有任何一面暴露于大立方体的外表面，而且，小立方体的每个面都必须在切一刀之后才能形成，所以，要切出这样一个小立方体至少需六刀。
那么，是否有一个一般的方法，用最少的刀数把一个规则的长方体切成若干小立方体，当然在切的过程中允许任意安排每一块的位置。回答是肯定的，具体方法如下：长宽高三条棱相交于一点，从这一点出发，分别把长宽高分成若干个单位长度，由此确定可切的最少刀数。对每条棱，在尽可能靠近中心的位置切，然后把切下的两部分摞在一起，再在尽可能靠近中心的地方切，直至切到每一部分都是单位长度为止。三条棱需切的刀数之和，就是所求的最少刀数。
例如，一个3×4×5的盒子至少需切7刀：长度为3的边需切2刀，边长为4的需切2刀，边长为5的需3刀，一共需7刀。这种一般切法的证明早在1952年出版的《数学杂志》上便有登载。
第二个问题的答案：解决这个问题的思路是这样，在立方体的另一个面上画一个对角线，使这条线与原有的两条对角线一起构成一个封闭的三角形，见图2―22。这三条线相等，构成一个正三角形，那么这个三角形的每个角都是60度，所以欧几里德小姐提出的角度是60度。
图2-22
对这个问题我们还可以进一步引申一下，假如欧几里德小姐如图2―23所示在立方体上画两条线，A、B、C分别为三条棱的中心，那么AB与BC所夹的平面角的度数是多少？
图2-23
思路同前。首先，依次连接另四个面上相应棱的中点，使之形成一个绕立方体一周的封闭图形。这个封闭图形六条边，每边等长，而且每两边的夹角相等。如果我们能证明这个六边形的六个顶点都在同一平面上，那么这六条线构成的则必然是正六边形。而证明这六点共面需要一点演绎或者解析几何的知识，不过你可以实际操作一下，把一个正立方体木块沿着问题中涉及到的六个棱的中心锯开，你会发现这个切面恰好把立方体两等分，六点确实共面。