数和形历来是数学的两大支柱,在学前阶段,有关儿童数概念的认知的研究层出不穷,并建立了一系列相应的儿童数学能力发展的理论。而对形的研究则相对较少,与形相关的几何学是数学中一门研究空间位置或定位的科学。几何学有多种,与儿童的经验最密切相关的是拓扑几何、欧氏几何、射影几何及度量几何。皮亚杰从1929年开始着手研究空间、几何等概念的形成和发展。皮亚杰指出,儿童空间观念的演化是在两个不同的水平上分别进行的——知觉水平和思维(想像)水平。在逻辑上并非如人们所假定的那样,后者是从前者中而来,而是各自沿着本身的途径发展的。儿童理解的空间知识不一定与他们看到的相匹配。年幼儿童也许看到了一条“直线”或一个“三角形”,但他无法将这些观念转化为心理表象。皮亚杰强调的空间表象是一种结构,而不是知觉的简单反应。从一般意义上讲,表象活动是知觉活动的反应或投射。
在研究2~7岁幼儿根据知觉抽象几何概念或几何图形的能力时,皮亚杰通过观察儿童用触觉识别形状的过程,发现儿童对几何图形进行再认的发展顺序是:儿童熟悉的物体——拓扑图形——欧氏(欧几里得)几何图形。
在研究射影空间时,皮亚杰让儿童画出不同几何图形的透视图、向儿童提问一些有关物影投射,从不同视角观察到的物物关系以及圆柱、圆锥一类几何体分割后的部位等问题。皮亚杰认为,在射影几何中一个物体或一条直线这样的概念,儿童不是根据它本身来孤立考虑的,而是跟观察它的视点有关。皮亚杰把一个娃娃放在儿童的右角上,娃娃只能看到一根木棒的端面,而儿童能看到一根长的木棒,让儿童画出这根木棒他看出来的样子及娃娃看出来的样子。可以观察到,小于4岁的儿童表现出来丝毫不能理解,4~7岁的儿童表现出完全不会或部分地不会对视点加以区别。由此,在学前阶段的儿童往往基于自身的视角来判断事物的位置。
在研究物体相互位置的空间关系时,皮亚杰用“瓶中水位”【3】实验表明,四五岁幼儿的表现通常是涂鸦,对任务本身都不理解;而五六岁幼儿则以瓶底或瓶子的壁为参照系统,非以自然界中的水平轴——桌面为参照系统。学前儿童还无法在空间中将物体安置在相关位置,使之相互间有正确的空间关系。
总之,皮亚杰认为对于三四岁幼儿来说,形状不是严格不变的,而是在操作下可改变的。当他们临摹正方形、长方形、圆形和椭圆形时,都用一个封闭的曲线代表他们画的图形不是直线或没有角度。而从拓扑学角度来看,方形和圆形是同样的图形,十字形和弧形是另一种同样的图形。皮亚杰认为,对于这种隋况是不能用儿童的小肌肉没有充分发展来解释的,因为同年龄的儿童能正确地描绘内含一个小圆的一个封闭圆形,也能描绘内圆形和外圆形的地形学上的关系,甚至能描绘一个封闭圆形和一个圆形间在界线上的关系,但是他却不能正确临摹一个看起来技术含量更低的正方形。这表明,年龄很小的儿童就有拓扑学的直觉,他们已能够领会邻近、分离、包围、封闭等拓扑学上的关系。而属于欧几里得几何的直线、角度等概念,他们还不能领会,当然更不能临摹。