一、分配思想

分配思想就是根据题中的数量关系，从已知条件入手，通过列式，先求出单位“1”，再由单位“1”的量进行分配。其具体思路我们还是从第十一册教材第63页的思考题谈起。

1．基本题：同学们参加野营活动。一个同学到负责后勤工作的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问：“多少人吃饭?” 他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算这个同学给多少人领碗。

〔分析与解〕这是一道六年级的思考题，解答此题可以用多种方法。

（1）方程法。

设：共有X人

X＋X＋X＝55

解得X＝3O。

（2）算术法。

55÷（l＋＋）＝55÷1＝3O（人）

（3）此题还可以直接求最小公倍数来解。

根据“一人一个饭碗，二人一个菜碗，三人一个汤碗”的条件可得：[1、2、3]＝6（6是1、2、3的最小公倍数）。即：每6人为一桌，每桌所需的碗数为：饭碗：6÷l＝6（个）；菜碗：6÷2＝3（个）；汤碗：6÷3＝2（个）。共计：6＋3＋2＝11（个）→每桌的总碗数。这样野营的同学正好可以安排：55÷11＝5（桌），而每桌都是6人，即共有6×5＝3O人参加野营。

此题运用最小公倍数来解，不但可以拓宽六年级同学的解题思路，更重要的是为四、五年级同学开辟了一条解题途径。

2．变形题。节日期间给某班同学发水果，每人3个桔子，每2人3个苹果，每4人3根香蕉，最后又给每人发1个梨，结果共发水果2OO个，求该班有多少个同学？每种水果各多少个？

［分析与解] 每人所发水果情况：桔子3（个）；苹果1（个）；香蕉（个）；梨1（个）。

（l）方程法。

设：共有X人

X＋3X＋1X＋X＝200

解得X＝32（人）

（2）算术法。

200÷（1＋3＋l＋）＝2OO÷6＝32（人）

（3）最小公倍数法（同学们自己思考列式）。

在求出单位“1”为32人以后，根据分配思想分别算出每种水果的个数，即：桔子3×32＝96（个）　苹果32×l＝48（个）

香蕉32×＝24（个）　梨子1×32＝32（个）

3．综合题：星期日某车间去郊外植树，休息时每人发2瓶汽水，每3人发2瓶果汁，每6人发2瓶雪碧，结果共发饮料180瓶，在这些人中，每人植一棵松树，每2人植5棵杨树，每3人植4棵柳树，每5人植3棵杏树，求该车间共植树多少棵？

〔分析与解〕此题综合性很强，实际上是把前两个分配思想的小题合在一起。每人所发饮料情况如下，

汽水：2（瓶） 果汁：2÷3＝（瓶） 雪碧：2÷6＝（瓶）

列式： 180÷（2＋＋）＝6O（人）

（其它方法同学们自己列式解答）

植树情况：松树 1×6O＝6O（棵）　杨树 6O×2＝150（棵）

柳树 16O×1＝8O（棵）　杏树 6O×＝36（棵）

总数＝6O＋150＋80＋36＝326（棵）

综合算式：180÷（2＋＋）×（1＋2＋1＋）＝326（棵）

综上所述，我们把这种解题思路称之为“分配思想”。同学们，你掌握了没有？

二、守恒思想

所谓守恒思想，就是抓住不变的量解题，在这一类问题中其中至少有一个条件是守恒的。守恒的类型有以下几种，即：明守恒、暗守恒、总量守恒。

1．明守恒：明守恒就是通过已知条件，可以直接求出守恒不变的量，再根据这个量解决所要求的问题。以下举例说明.

例：某班共有45人，其中女生占总数的，后来又转来了几名女生，这时女生就占现在人数的，求转来几名女生？

〔分析与解〕根据题意，女生人数增加了，而男生不变，抓住这个守恒量列式解答。

男生：45×（1－）＝25（人）

现在总人数：25÷（l－）＝5O（人）

增加的女生数：5O－45＝5（人）

综合算式：45×（1－）÷（l－）－45＝5O－45＝5（人）

2．暗守恒：暗守恒其守恒量不易直接求出，只有通过已知条件的分率转化，才能算出守恒的分率与数量，从而达到解题目的。

例：口袋中共有小球若干个，其中红球占总数的，后来拿走6个其它颜色的小球，这时红球占现在总数的，求原来有球多少个？

〔分析与解〕根据题意，红球数量守恒。由此建立关系式：

现在＝原来→现在＝（÷＝）原来

列式得：6÷（1－）＝54（个）→原来总球数

另解：6÷（1－－）＝54（个）→为什么？同学们自己思考。

3．总量守恒：不管题中有几个条件，也不管它们之间发生什么样的变化，但总数是永远不变的，这就是总量守恒。

例：有一本故事书，已看的页数是未看的，如果再看96页，那么原来未看的与现在已看的页数正好交换，求这本书共有多少页？

〔分析与解〕无论看的与未看的页数怎样发生变化，但这本书的总页数是守恒的。根据总量守恒分析列式，

解法1：第一次看的页数占总数的÷（l＋）＝

第二次已看的页数占总数的l－＝

列综合算式：96÷（－）＝96÷＝416（页）→总页数

解法2：第一次已看的页数与未看的页数比为5:8，即：已看的占5份，未看的占8份，总页数为5＋8＝13份。由此列式得：

96÷（8÷13－5÷13）＝416（页）

三、假设思想

所谓假设思想，它往往是先假定某种现象的存在，然后将先前的假定与题中的已知条件进行比较，产生矛盾与差异，再通过分析与思考，找出形成差异的原因，从而达到解题的目的。

例1．A、B两堆水果共重36O千克，如果从A堆中运走它的，从B堆中运走它的，这时从两堆中共运走了120千克水果，求每堆原来各有水果多少千克？

〔分析与解〕假设从A、B两堆中都运走了，那么总数就运走了。

由题意得：A＋B＝120（千克）

由假设得：36O×＝9O（千克）

因此A堆水果有：（120－90）÷（－）＝3O÷＝200（千克）

B堆水果有：36O－2OO＝160（千克）

此题还可以假设从A、B两堆水果中都运走的水果。（由同学们自己列式解答）

说明：这是一道较复杂的分数应用题，为什么要运用假设思想求解？由于此题A、B两堆水果的单位“l”不同，每堆所取的分率又不一样，因此解题时必须要运用假设思想。在上例中为什么假设的数值与实际数值有误差呢？是因为从A堆运走的水果，在假设时是按来算的，因此相差了－＝，其值相差了120－90＝30（千克）

例2．某项工程，A独做要6O小时完成，B独做要15小时时完成，如果此项工程由A先做若干小时再由B单独接着做，这样共用了45小时完成，求完成任务时每人各做了几小时？

[分析与解] 这是一道较复杂的工程问题，解答时也同样运用假设思想。

假设A做了45小时，那么B做的时间为：

（1－×45）÷（－）＝÷＝5（小时）

A做的时间为：45－5＝40（小时）

（还有一种假设由同学们自己解答）

例3．某校本学期男生人数比原来增加了，而女生人数比原来减少了，结果全校总人数比原来增加了，求原来女生占总人数的几分之几？

〔分析与解〕这是一道纯分率应用题，同样借用假设思想求解。此题与前两题不同：其一，本题没有一个具体的数字（全是分率）；其二，在女生人数减少的情况下，而总人数却增加了，由此说明男生增加的人数比女生减少的人数多。

假设男女生人数都增加了，那么总人数就增加，而实际上总人数只增加了，这样假设的与实际的产生了误差。于是得出：女生人数占总人数的（－）÷（＋）＝，男生人数占总人数的：1－＝。

例4.用一只载重量为61O吨、容积为65O立方米的船来运木材和石头，已知每立方米木材重吨，每立方米石头重1吨，这只船要一次运木材和石头各多少吨，才能充分利用它的载重量和体积？

〔分析与解〕这题比较复杂，咋看起来像是统筹问题，解答此题最好的思路还是运用假设思想。

假设这只船全部装运木材，那么它的载重量就不能充分利用了。如果全部装运木材，木材重：×65O＝260（吨），石头体积：（61O－260）÷（l－）＝25O（立方米），石头重量：1×250＝450（吨），木材重量：×（65O－25O）＝160（吨）。

四、还原思想

这里介绍的还原思想不是一般书上说的那种逆推还原，而是通过扩大或缩小倍数，将其中某个分率还原成单位“1”，以便从中消去一个量，从而达到解题的目的。

例1．两块麦地共有100公亩，第一块地的和第二块地的正好是5O公亩，求每块地各有多少公亩？

〔分析与解〕根据题意，只要将题中的扩大倍数，还原成单位“l”，从中消去一个量，这样就可以直接列式解答了。

第一块＋第二块＝100公亩

第一块＋第二块＝5O公亩

50×8＝400公亩×8=“1”→第二块

×8＝4→第一块

第一块：（400－100）÷（×8－l）＝84（公亩）

第二块： 100－84＝16（公亩）

例2．A、B两个仓库共有化肥2500吨，从A库中运出了，从B库中运出又50吨，这时两库共余下化肥700吨，求原来两库各有化肥多少吨？

〔分析与解〕如果将本题中的或某一个分率还原成单位“l”，这样计算比较麻烦。不妨我们换个角度考虑，从余下的数量来分析，

A＋B＝2500（吨） A＋B＝（700＋50）＝75O（吨）

750×3＝225O（吨）×3＝“1”→A

×3＝→B

由此列式B：（2500－2250）÷（1－×3）＝1000（吨）

A：2500－1000＝15OO（吨）

（此题也可以将扩大4倍还原成“l”来列式，请同学们自己试一试。）

例8. A、B两人共有钱100元，如果A取出自己的，B取出自己的，两人共取出4O元，求A、B两人原来各有多少元？

〔分析与解〕这题也是从余下的数量来考虑，即，A＋B

＝（100－4O）＝6O（元）→＝A＋B＝（6O÷5）＝12（元）

12×7＝84（元）×7＝“1”→B

×7＝→A

A：(100－84)÷(1－×7)＝72（元）

B：100－72＝28（元）

五、合并思想

合并思想就是把题中的两个或两个以上的已知条件合并起来，通过合并，将知识重新组合、分析、比较、归纳，从而找到解题捷径。合并思想包括“量”合并和“率”合并。

1．量合并：量合并就是先把题中的两个或两个以上的已知数量，根据一定的需要直接加起来，然后再思考列式求得答案。

例1．买甲、乙两种商品共6O件，付人民币1260元，如果交换两种商品的件数共付人民币1140元，已知甲商品的价格是乙商品价格的1倍，求两种商品的单价？

[分析与解]由题意得：甲每件商品比乙贵。由交换得：甲商品在交换前比交换后的件数要多，即：甲的件数＞乙的件数。不妨我们设甲原来有X件，乙原来有y件。

（1）甲（x）甲60件乙（y）乙60件1260元

（2）甲（y）乙（x）1140元

1260＋1140＝24OO（元）

将上面的条件（1）和（2）合并起来列式得：

（1260＋1140）÷6O＝（4O元）→甲乙单价和

以及乙：4O÷（l＋1）＝15（元）

甲：15×1＝25（元）

2．率合并：率合并就是先将题目中的两个或两个以上的分率合并起来，从中得出总数量与总分率之间的关系，然后再借助假设或还原思想求得答案。

例2．甲、乙两件商品，甲的和乙的共值56元，而甲的和乙的共值49元，求甲、乙两件商品的价格？

[分析与解］因为甲乙前后分率正好进行了交换，通过合并可以得到相同的总分率，由此获得解题途径。

甲＋乙＝55（元）→甲＋乙＝（49＋55）÷（＋）

甲＋乙＝49（元）　　＝160元

根据条件1假设：甲乙两种商品都取出，那么总数就取出。列式得：

乙商品的价格为：（16O×－55）÷（－）＝9÷＝6O（元）

甲商品的价格为：160－6O＝100（元）（也可以根据条件2假设列式，同学们自己试试。）

六、化归思想

这里所介绍的化归思想，就是将题中一个或几个条件先通过转化，然后再归结到某一个数量中。其具体思路是：确立其中某一个数量为单位“1”，其它被转化的量则是这个单位“1”的几分之几或几倍。

例1．甲、乙两班同学共13O人，如果从甲班抽出和乙班10人去参加活动，这时乙班余下人数是甲班余下人数的，求甲乙两班人数？

［分析与解］乙班抽走10人后，余下的人数是甲班原来总人数的（l－）＝的，即：×＝，这时乙班余下的是甲班原来总人数的。由此列式得甲班原来人数：

（130－10）÷（l＋×）＝120÷1＝7O（人）

乙班人数为130－70＝60（人）或7O×（l－）×＋10＝70×＋10＝60（人）。

例2．某厂男女工共有200人，如果从男工中抽走的人，女工又招来20人，这时男工余下的人数是现在女工人数的，求原来男女工各有多少人？

[分析与解］由于男工抽走不知道有多少人，在此只有确立女工现在人数为单位“1”，将男工人数化归为女工。根据题意：

男＝女现在→男＝女现在→男＝1女现在

因此列式得：

（200＋20）÷（1＋1）＝100（人）→女现在

女原来＝100－20＝80（人） 男原来＝200－8＝120（人）

例3．某工程队下属三个小组，总人数为190人，如果从甲组中抽走人，从乙丙两组各抽走5人，这时丙组余下的人数是甲组余下人数的，乙组余下的人数和甲组余下的人数相等，求每小组原来各多少人？

[分析与解］本题与前两小题有所不同，从已知条件不难看出乙与丙都和甲有直接关系，在此不妨以甲原来人数为单位“1”，乙丙余下的人数可直接化归为甲。因此得：丙组余下的人数是甲组余下人数（l－＝）的，即：

丙现在＝（×＝）甲原来

乙现在＝（l－）＝甲原来

由此列式得

甲组原来有：（190－5×2）÷（1＋×＋）＝80（人）

乙组原来有：80×＋65（人）

丙组原来有：80×＋5＝45（人）

七、一分为二思想

本文所谈的一分为二思想，是在解题时将题中的已知条件一分为二，即：根据需要将已知的数量和分率暂时分开，分别进行“量”转化和“率”转化，从而达到列式解答的目的。

例1．某车间男工人数比女工人数多28人，参加元旦联欢活动，女工全部参加，男工则有的人没有参加，已知参加活动的共有105人，求原来男女工各有多少人？

[分析与解]由题意得：由于女工全部参加活动，则将女工人数看作单位“1”，将男工人数一分为二，即：把男工分成同女工人数相等的单位“1”和多出的28人。（单位“1”叫分率，简称“率”，28人叫数量，简称“量”。）而男工只有1－＝的人参加活动。由此，根据一分为二思想分别进行“率”转化和“量”转化。

（1）男工参加的人数相当于女工人数即单位“1”的，即：“率”的→1×＝。

（2）28人的，即：“量”的28×＝21（人）。

于是列综合算式得女工人数为：

（105－28×）÷（1＋1×）＝84÷1＝48（人）

男工人数为：48＋28＝76（人）

（此题也可以用方程解，请同学们自己试试。）

例2．甲乙两组工人共计划加工一批零件，已知甲组完成了总数的还少500个，乙组完成了比甲组的还多200个，求这批零件共有多少个？

［分析与解］将条件摘录如下：

甲＝总－500

乙＝甲＋200

乙＝（总－500）的＋200

根据一分为二思想分别进行“量”、“率”转化：

（l）“率”转化：乙组加工的是甲组的→零件总数的→总。

（2）“量”转化：少500个的→500×＝300（个），而乙最后还多200个零件，这样两抵还少300－200＝100（个）。

综合（1）、（2）得：乙＝总－100

零件总数为：

（500＋100）÷（＋－l）＝600÷＝9000（个）

例3．果园里收下苹果的正好装满了若干筐，余下的苹果装满15筐还多45千克，求每筐苹果多少千克？共收下苹果多少千克？

[分析与解］依照题意，每筐苹果的重量一定大于45千克，而余下的苹果（1－）＝装满15筐还多45千克，由此推算出收下的苹果装的筐数与余下的苹果装的筐数的比值为：:（1－）＝1。根据一分为二思想：

（1）“率”转化：15×1＝17（筐）收下苹果的所装的筐数和多的千克数

（1）“量”转化：45×1＝51（千克）

由于收下的苹果的装的是整筐数，由此这里取大于17筐最小整数为18筐。

51÷（18－l7）＝÷＝60（千克）→每筐重量

（60×l5＋45）÷（l－）＝945÷＝2025（千克）→总重量

八、极端思想

所谓极端思想就是在分析和研究对象时，往往从问题的最末端出发，它主要借用逆向思维对题中的已知条件和问题进行辨析、比较、归纳，寻找解决问题的契机，从而达到解题的目的。

例1．有一辆马车每时行驶8千米，为了保持马的体力，每行驶50分钟就休息10分钟，已知从A地去B地全长共7O千米，求这辆马车行完全程共要几时？

［分析与解］首先把分钟化成时：5O÷6O＝（时），10÷60＝（时）。依题意：在每时内马车行驶时，就休息时。这样在l时之内，马车实际行驶了8×＝7千米，那么列式为：7O÷7＝10（时）。再根据极端思想，马车到达B地时最后一个时不作考虑。因此所用的时间是：10－＝9（时）。

例2．蓄水池有A、C两个进水管和B、D两个排水管。要注满一池水，单开A管要3时，单开C管要5时。要排完一池水单开B管要4时，单开D管要6时。现在池内有的水，如果按A、B、C、D、A、B……的顺序轮流打开1时，多少时间后水开始溢出水池？

[分析与解]A、B、C、D各管各开1时后，水池中的水就增加－＋－＝。我们知道：＞＞＞，由此最后使水开始溢出水池的一定是A管。

根据极端思想，池中的水超过以后，甲管打开一段时间后，水池中的水会溢出。因为（l－）÷＝4，所以A、B、C、D这样循环4次以后，水池中的水为＋×4＝，还不到。循环5次后，池中的水为×5＋＝，这样再打开甲管（l－）÷＝（时）以后，水就开始溢出水池。

总时间：4×5＋＝20（时）

例3．某项工程由乙独做13天完成，如果此项工程第一天由甲做，第二天由乙接着做……这样轮流恰好在某日晚完成；若这项工程第一天由乙做，第二天由甲接着做……这样轮流比前次多半天时间完成任务。求这项工程由甲独做要几天完成？

[分析与解]依照题意，完成任务时第二轮比第一轮多半天时间，从图1不难看出：在两轮中AB之间的工作量是甲乙（或乙甲）经过了若干次轮流以后（轮流次数相等，所做的工作也相等），余下的两轮工作量也相等，这样就不可能多出半天的时间。这与题中条件相矛盾，因此本解法行不通。

从上解中不难发现：在第一轮里不可能是甲开始乙收尾，很可能是甲开始甲收尾。这样作图2所示，通过分析、比较、归纳出：这两轮中甲乙最后余下的关系是：甲＝乙＋O.5甲→甲＝2乙。即甲的工作效率是乙的2倍，甲独做这项工程的天数：13×＝6.5（天）。