我们先来考察一个例子.
72有几个约数？
用“两边夹”的方法可以找出它的全部约数：
1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72
共是12个.
再把72分解质因数：
72=2×2×2×3×3=23×32.
显然
20，21，22，23
和
30，31，32
是72的约数.由这两组约数中的任意两个约数的乘积当然也是72的约数.即
一一写出来就是：
20×30=1×1=1，
20×31=1×3=3，
20×32=1×9=9；
21×30=2×1=2，
21×31=2×3=6，
21×32=2×9=18；
22×30=4×1=4，
22×31=4×3=12，
22×32=4×9=36；
23×30=8×1=8，
23×31=8×3=24，
23×32=8×9=72.
有趣的是，按照这种方式得到的约数，正好得到了72的所有12个约数.不是吗？
再细心观察两个例子，也许我们聪明的读者就会发现规律了.
合数：1000.
分解质因数：
1000=2×2×2×5×5×5=23×53.
找约数：
约数的个数是：
（3+1）×（3+1）=16（个）.
合数：49000.
分解质因数：
49000=2×2×2×5×5×5×7×7=23×53×72
找约数：
约数的个数：
（3+1）×（3+1）×（2+1）=48（个）.
有规律吗？
如果合数B分解质因数后是：
B=am×bn×cp×……
其中a、b、c……均为质数，m、n、p……均为自然数.那么，这个合数的约数个数有多少呢？
【规律】
如果合数B分解质因数后是：
B=am×bn×cp×……
那么，它的约数个数有（m+1）×（n+1）×（p+1）×……（个）.
【练习】
1.下面是一些合数分解质因数后的情形.请求出这些合数的约数个数.
22×33，24×52，
33×54，22×33×54，
210×3100×51000，1310×17100×191000，
2×3×5×7×11，21×32×53×74×115.
2.求出下面每个合数的约数个数.
144 128 1600 360 4580
3.（1）分母是1000的最简真分数共有多少个？
（2）分子是1001的最简假分数共有多少个？
4.（1）写出一个不同的合数，但跟22×33有一样多约数个数.
（2）写出一个也只含有质因数2和3的合数，且跟22×32含有的约数个数同样多.
5.面积是480平方厘米，长和宽都是自然数的长方形共有多少个？