中国古代数学的研究,目前存在着一些彼此对立的研究结论;正确地分析存在着的矛盾结论,无疑会有助于人们深入地了解中国古代数学,同时也会使人们对数学史研究的方法和评价标准有新的认识。
一、几个有代表性的矛盾结论
如何评价中国古代数学,如何评价在中国古代文明中数学的作用以及它取得的成就是每个数学史学者关心的问题。但是目前的一些研究却有着一些矛盾的结论,这些矛盾的结论往往是围绕着认识、理解、评价中国古代数学的关键性理论问题展开的。
1.关于古代数学运用的思维方式问题
中国古代数学是否象古希腊那样明确地运用逻辑思维问题,目前已成为评价中国古代数学的一个重要因素,因为在人们的认识和理解中,数学如果没有严格的逻辑思维形式,那就很难成为真正的数学理论,袁晓明先生的研究结论与人们的良好愿望相反,他认为中国古代数学不存在象古希腊数学那样以逻辑为基础的思维方式,“与古希腊数学严格地采用逻辑演绎的逻辑思维方式不同,中国数学则是以非逻辑思维为主,即主要通过直觉、想象、类比、灵感等思维形式来形成概念、发现方法、实现推理的。”
郭书春先生通过对《九章算术》的研究,得出相反的结论,他认为《九章算术》的注释中已经具有并形成了演绎的逻辑方法及演绎的逻辑体系,“刘徽注中主要使用了演绎推理,他的论证主要是演绎论证即真正的数学证明,从而把《九章算术》上百个一般公式、解法变成了建立在必然性基础之上的真正的数学科学。”
巫寿康先生与郭书春先生的观点相同,他认为:“刘徽《九章算术注》中的每一个题,都可以分解成一些首尾相接的判断,如果仔细分析这些判断之间的联系,就会发现这些判断组成若干个推理,然后由这些推理再组成一个证明,因此可以说,《九章算术注》中的论证已经具备了证明的结构,就大多数注文来说,这其中的推理都是演绎推理,大多数证明也都是演绎证明。”
中国古代数学到底“是以非逻辑思维为主”,还是“主要是演绎证明”,这是中国古代数学研究中一个矛盾的结论,还没有得到统一认识的问题。
2.关于中国古代数学理论构造的问题
按照西方数学的模式,一种数学着作若是按应用问题的类别编排,并且每一个题之后给出解法和答案,那么这个数学着作就是一个习题集的模式,也许正是由于这种客观原因,许多国外的学者都认为中国古代数学不存在什么理论构造,李约瑟先生就认为“从实践到纯知识领域的飞跃中,中国数学是未曾参与过的。”[4] 着名的数学家陈省身先生也有相同的看法,他认为“在中国几何中,我无法找到类似三角形内角和等于180°的推论,这是中国数学中没有的结果。因此, 得于国外数学的经验和有机会看中国数学的书,我觉得中国数学都偏应用,讲得过分一点,甚至可以说中国数学没有纯粹数学,都是应用数学。”
中国的一些数学史学者对此持完全相反的观点,坚持强调中国古代数学理论构造的存在性。李继闵先生认为“中国传统数学具有自己独特的理论体系,它以理论的高度概括、精炼为特征,中算家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念,提炼出一般的数学原理,而从非常简单的基本原理出发解决重大的理论关键问题……中国传统数学理论,乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单、精巧的理论建筑物。”[6]
中国古代数学是否有一个理论意义上的构造体系,这大概是目前中外数学史专家们对中国古代数学研究中的一个最大的分歧点。如何正确地评价中国古代数学的体系构造已成为中国数学史研究中应当回答的理论问题之一。
3.关于珠算在中国数学史中的地位问题。
在中国数学史的研究中,人们一直认为宋元数学是中国古代数学的高峰。宋元之后的明代珠算无法与宋元数学的成就相比,明代珠算一般被认为是“民用”或“商用”数学。言外之意,珠算是不能登中国古代数学理论构造的大雅之堂。许多学者认为宋元数学的衰退、被人遗忘是很值得研究的理论问题,而明代珠算却没有什么值得在理论层面给予研究的意义。
笔者的观点与当前评价宋元数学和明代珠算的观点都相悖。笔者认为珠算是中国古代数学在宋元之后取得的又一里程碑式的成就,它是中国筹算在运演工具上的重大创新,是筹算运演发展的重大突破,是中国古代数学技艺型发展的必然结果。[7]
如何评价珠算在中国数学史中的地位,实际也带来了如何评价宋元数学的一系列问题,在这个问题上笔者也提出了与目前传统观点相悖的论点,即宋元数学的成就,是中国筹算在特定的社会动荡、传统儒家观念发生紊乱、仕大夫仕途无望的文化氛围中奇异性发展的结果,当社会是进入稳定发展、仕大夫按照儒家传统观念走向仕途时,宋元数学就必然会被整个民族文化所淡忘。
对珠算与宋元数学的评价,实际上涉及了如何看待中国古代筹算体系的发展及其内在规律的问题,这一问题也是正确认识中国古代数学的一个理论性的问题。
二、数学史研究的方法论问题及评判的理论依据
从方法论的意义上来考察中国古代的数学史研究,可以发现实际上存在两个不同层次的研究状况,第一层次的研究是指对史料的收集、整理、考证。应当说这个层次的主要工作是在中国古代数学的范畴内对数学史实的发展及其流变进行分析认证。这一层次的分析考证应当确认史料的年代及其真伪,以及史实在中国数学发展中所处的地位。第二层次的研究,是对已确认的史料与世界数学史的比较评价。应当说这个层次的比较研究是在世界数学史的范畴内(实际上主要是中西数学发展的范畴内)进行比较研究,这一层次的主要工作是要确认中国古代数学已达到的理论层次。这一过程显然是把中国古代数学纳入到已有的理论框架中进行比较,进而要求表述中国古代数学在现有古代数学史理论框架内所处的地位、理论层次、构造性状况以及它对现有数学史理论的贡献。