最大公约数和最小公倍数难题讲解

本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数所得的商互质.即如果(a,b)=d那么(a÷d,b÷d=1)。

证明：设a÷d=a₁ b÷d=b1那么a=a₁d  b=b₁d。 假设(a₁,b₁)≠1可设(a1,b1)=m  m＞1于是有a₁₌a₂m b₁=b₂m.(a₂ b₂）是整数 所以a=a₁d=a₂md，b=b₁d=b₂md。

那么md是a、b的公约数。

又∵m＞1∵md＞d。 这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.

因此（a₁b_1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a_1，b_1）=1也就是（a÷d，b÷d）=1。

定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.证明略 定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.证明略 下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1 甲数是36甲、乙两数的最大公约数是4最小公倍数是288求乙数.

解法1由甲数×乙数甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数可得 36³×乙数4³×288 乙数4³×288÷36 解出 乙数32。

答乙数是32。

解法2因为甲、乙两数的最大公约数为4³则甲数4³×9设乙数4×b1且b₁91。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288， 则 288＝4³9³b₁， b₁＝288÷36， 解出 b₁＝8。

所以，乙数=4³          8=32。

答：乙数是32。

例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。 因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a₁，b＝21b₁，且（a1，b1）＝1。

因为这两个数的最小公倍数是126，

 　所以 126=21³a1³b₁， 于是 a₁³b₁=6，

因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。

答：这两个数的和为147或105。

例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a₁，b=5b₁，且（a₁，b₁）=1，a₁＜b₁。

因为 a＋b=50， 所以有5a1+5b1=50， a1+b1=10。 满足（a₁，b₁）=1，a₁＜b₁的解有：

答：这两个数为5与45或15与35。

例4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

解：设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝d，a＝da₁，b＝db1，其中（a₁，b₁）＝1。 因为两个自然数的积=两数的最大公约数³两数的最小公倍数， 所以 240=d³60， 解出 d＝4， 所以 a=4a₁，b=4b₁. 因为a与b的最小公倍数为60， 所以 4³a₁，b₁＝60， 于是有 a₁，b₁＝15。

答：这两个数为4与60或12与20。

例5 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b，（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。

因为a+b＝54，所以da1+db1=54。 于是有d³（a1＋b1）＝54，因此，d是54的约数。 又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114， 所以da1b1-d=114， 于是有d³（a1b1-1）=114，

因此，d是114的约数。 故d为54与114的公约数。

由于（54，114）＝6，6的约数有：1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。 如果d＝1，由d³（a1+b1）＝54，有a1＋b1=54；又由d³（a1b1-1）＝114，有a1b1=115。 115=1³115=5³23，但是1＋115=116≠54，5＋23=28≠54，所以d≠1.

如果d＝2，由d³（a1＋b1）＝54，有a1+b1=27；又由d³（a1b1-1）=114，有a1b1=58。 58＝1³58＝2³29，但是1＋58＝59≠27，2+29＝31≠27，所以d≠2。

如果d=3，由d³（a₁＋b₁）=54，有a₁+b₁＝18；又由d³（a₁b₁-1）=114，有a1b1=39。

39＝1³39＝3³13，但是1＋39＝40≠18，3＋13＝16≠18，所以d≠3。

如果d=6，由d³（a1＋b1）=54，有a1＋b1=9；又由d³（a1b1-1）=114，有a1b1=20。

20表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1³20＝4³5，虽然1＋20=21≠9，但是有4＋5＝9，所以取d＝6是合适的，并有a1=4，b1＝5。 a＝6³4＝24，b＝6³5＝30。

答：这两个数为24和30。

例6 已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b，且a＞b，a＝da1，b=db1，（a1，b1）＝1。

因为a-b=4，所以da1-db1=4，于是有d³（a1-b1）=4，因此d为4的约数。 因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252，所以d³da1b1＝252，于是有d2³a1b1=（2³3）2³7，因此d为2³3的约数。 故d为4与2³3的公约数。 由于（4，2³3）＝2，2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。

如果d=1，由d³（a₁-b₁）=4，有a₁-b₁=4；又由d2³a1b1=252，有a1b1=252。

252表示成两个互质数的乘积有4种形式：252=1³252=4³63=7³36＝9³28，但是252-1＝251≠4，63-4＝59≠4，36-7=29≠4，28-9＝19≠4，所以d≠1。

如果d=2，由d³（a1-b1）=4，有a1-b1=2；又由d2³a1b1＝252，有a1b1=63。

63表示为两个互质数的乘积有两种形式：63＝1³63=7³9，但63-1＝62≠2，而9-7＝2，且（9，7）=1，所以d=2，并且a1＝9，b1＝7。

因此a=2³9＝18，b＝2³7＝14。

答：这两个数为18和14。

在例2～例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形（在各例中都只假设了a＜b），分别是由于：例2和例5，若a＝b，则（a，b）＝[a，b]＝a，与条件（a，b）≠[a，b]矛盾；例3，若a=b，则a＝b=（a，b）=5，因此a＋b＝10≠50，与条件矛盾；例4，a³b=240不是平方数。 从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数为a、b，那么a=a1d，b＝b1d，其中d=（a，b），（a1，b1）＝1，因此[a，b]＝da1b1，有时为了确定起见，可设a≢b.对于很多情形，可以排除a=b的情形（如上述所示），而只假设a＜b.