教育瑞士著名儿童心理学家皮亚杰(J．Piaget)毕生从事儿童认识发展的研究，创造性地建立了一套崭新的儿童智力发展理论。其中关于智力的本源、知识经验的获得和结构组成以及儿童思维发展阶段理论，都对研究幼儿心理发展基本规律、探讨教育问题提供了有益的理论启发。他所做的关于守恒以及时空认知等方面的具体研究，对数学教育有直接的参考和借鉴价值。建构主义思想 ①知识的来源。皮亚杰认为智慧的本质是适应，主体适应外部世界和认识外部世界，而适应依赖于主体的动作。他在《JL童心理学》(1969年)一书中指出：“知识来源于动作，而非来源于物体。”知识经常是与动作或运算联系在一起的，也就是与转化(从动作向运算的转化)联系在一起”。在动作操作过程中，主客体之间相互作用，一方面使得客体发生了一定的改变，另一方面也使主体在相互作用的过程中获得了一定的知识。因此，知识来源于动作，知识是主客体相互作用的产物。②知识的组成结构。皮亚杰将知识分为3类：物理性知识、数理逻辑知识和社会性知识。物理性知识来源于对物体的操作、摆弄和对自己加在物体上的动作的结果的观察。数理逻辑知识不存在于物体本身，而来源于在心理内部建构的动作与物体之间的关系的协调。比如，儿童发现有的东西会碎，有的东西不会碎，这时儿童头脑中便产生了“类”的概念——一种数理逻辑经验，它不存在于任何物体之中，只能依靠个体与物体的直接接触、交互作用，并在个体心理内部建立某种联系才能产生。社会性知识是社会约定俗成的、关于社会生活的规范与规则等，它来源于儿童与成人相处交往的社会生活。③数理逻辑知识的来源与获得。根据皮亚杰关于知识来源的阐述，上述3类知识的产生既不是来自客体，也不是来自主体，而是来自主客体之间的相互作用。同样，数理逻辑知识的获得也是主客体相互作用的产物，而连接主客体之间的桥梁便是动作。儿童主体通过动作作用于客体，并在内心不断反思、加工自己的行为，主动建构自己的知识和经验。这充分体现了皮亚杰关于知识获得的建构主义思想，也即知识的获得是主体与环境相互作用、主动建构的结果。思维发展阶段理论 皮亚杰提出儿童的思维(智慧)发展可以分为3个阶段，即感知运动阶段、前运算阶段和运算阶段。也可把运算阶段分为独立的具体运算阶段和形式运算阶段。①感知运动阶段(0—2岁)。是儿童智力发展的萌芽阶段，儿童只能依靠感知和动作来适应外界环境，没有思维和表象，没有出现语言。②前运算阶段(2-7岁)。这一阶段是感知运动阶段到概念性智力阶段(运算阶段)发展的过渡阶段，又称自我中心的表征活动阶段。这一阶段主要的行为特征是语言出现——在广度和速度上大大地扩展了儿童智慧活动的能力；儿童开始用表象和语词来代表外界世界，并出现延迟模仿、象征性游戏；自我中心比较突出，外部世界都围绕儿童自己转动；儿童还不能进行可逆运算，还没有守恒概念。③具体运算阶段(7—11岁)。这一阶段儿童主要依靠概念进行思维，思维具有可逆性、守恒性、灵活性和非自我中心化的特点。④形式运算阶段(11岁以后)。这是思维发展的最高阶段，这个阶段的运算不受具体事物内容局限，通过假设或命题方式进行逻辑推理。守恒概念 皮亚杰认为，儿童最初的世界是没有客体的世界，刚出生不久的婴儿不能区别独立于主体之外由客体所构成的外部世界和自己的内部或主体世界，主客体还没有分化。一岁左右，婴儿通过自己的活动发现了客体的稳定性或永久性。当某个客体在视野某处消失后，婴儿能用有效的方法在该处寻找；当和他逗乐的成年人走开时，婴儿便哭起来。走出视野不再等于离开头脑。婴儿认为这个成年人在他感觉经验之外永久存在着。用皮亚杰的术语来说，客体是永恒的。这就是婴儿关于客体(物体)本身守恒的最初表现。到5-6岁时，儿童又形成了一种新的守恒形式——数目守恒(皮亚杰认为，对5个以下物体，幼儿能借助知觉做守恒判断；而对8个物体，则只能运用逻辑推理才智确回答守恒问题7。幼儿对小数目物体均恒问题不能运用于较大数目的守恒)，并随后的几年内相继发展了长度守恒(约6岁)、物体守恒(约7岁)、液体守恒(约7岁)、重量守恒(约9岁)、容积守恒(约9、10岁)等量的守恒。从形成客体本身守恒到理解数目守恒，从数目守恒的出现到各种数量守恒的全面发展，守恒成为可靠的认识工具。因此，在儿童心理发展的过程中出现了两次守恒现象：一次是关于客体本身的永恒；一次是关于数与量的守恒。儿童的守恒能力随年龄增长而增长。皮亚杰把数量守恒的掌握与否作为划分前运算阶段和具体运算阶段的一个重要标志。同时，传统的皮亚杰数目守恒测验认为，幼儿不能守恒的关键在于幼儿缺乏物体转换能力，即对变形这一步骤的意义不理解。时空认知相关研究 皮亚杰研究了3类几何空间概念的发展，指出儿童空间概念的发展是按拓扑——欧氏几何和投射几何——度量结构的顺序进行的。儿童最初对生活于其中的空间或世界的印象是一片浑沌、毫无组织的。对于3-4岁的儿童来说，形状不是严格不变的刚性东西，而是可在他们的操作下改变的。年龄很小的儿童就有拓扑学的直觉，他们已能够领会拓扑学上的关系：邻近、分离、包围、封闭等等。7、8岁的儿童，随着拓扑学上的直觉，开始出现了投射直觉和欧几里得几何学概念。参照皮亚杰的儿童智力发展阶段，他认为在感知——运动发展水平上，第一和第二小阶段中，儿童的空间观是拓扑学的，这时各种不同的感觉空间之间还没有应有的协调，物体的形式和长度大小还不具知觉的恒常性；第三、第四小阶段上(12个月左右)，儿童已经开始同时形成欧氏空间和投射空间；在第五、第六小阶段上(2岁左右)，儿童形成表象的空间。但儿童真正达到欧氏空间和投射空间要等到7、8岁的时候，1928年，皮亚杰考察了儿童“左右”概念的发展情况。他认为儿童抽象的“左、右”概念的发展经历了3个阶段：第一，5-7岁未分化阶段，儿童可以固定地判断自己的左右方位；第二，7—8岁具体分化阶段，能认识到对面人的左右方位与自己的不同；第三，10-11岁充分分化阶段，儿童能毫不犹豫地指出中间物体的左右方位。另外，皮亚杰还在运动中研究时间、速度及距离概念的发展。他设计了一个实验：给学龄前儿童看桌子上放着两个机械蜗牛，实验者同时使两个蜗牛启动爬行，其中一个蜗牛爬得快，另一个爬得慢。当快的蜗牛已经停止时，慢的蜗牛还在爬，可是最终仍未赶上快蜗牛。在这种情况下，儿童不能正确再现究竟是哪个蜗牛先停下。大部分儿童都说慢蜗牛先停下，因为它走的路程比较短。皮亚杰认为儿童最初是以举例概念代替时间概念的。儿童时间、速度和距离概念的发展一般要经历3个阶段：第一阶段，儿童仅以物体在空间停顿点的长短来定义时间、速度和距离。儿童认为蜗牛停在离起点较远的地方，它花的时间较长，速度较快，因而走的距离也更长，处于这一阶段的儿童一般是4-5岁。第二阶段，儿童开始考虑到诸如蜗牛起点一类的因素，皮亚杰总结到，这一阶段是一个逐渐脱离以终点为基础的直觉去中心阶段；大约到7、8岁左右，儿童进入第三阶段，即概念阶段，此时的儿童才最后把时间和空间区分开来。理论启示 ①强调动作的重要性。让幼儿在动手操作的过程中，建构自己的数学概念和知识。皮亚杰认为，知识总是和动作或运算联系着的，运算是内化的可逆的动作，思维是内化了的动作。因此，动作是知识的来源，应该让幼儿动手操作，动脑思考，不断探索和发现物体之间的数量关系，做到在做中学、在做中建构物体之间的数理逻辑关系。同时，幼儿思维发展以具体形象性为主，而数学学习又是一种抽象的数理逻辑关系的学习。因此，通过抽象的理论推理很难使幼儿理解其中的逻辑关系。为此，只能依靠具体的动作和形象，为幼儿进行数学逻辑思维和推理提供更为直观的信息和思维工具，帮助幼儿思维。②重视幼儿数学学习的主动建构。幼儿的数学知识、数学经验是幼儿与环境相互作用、主动建构的结果。幼儿是自己数学学习的主人，他们不是被动地接受数学知识，也不是被动地接受环境的刺激，他们的数学知识和经验是通过自身主动的实践活动而获得的。这体现了数学学习的建构主义思想。③幼儿数学教育必须符合幼儿思维发展阶段和特点。皮亚杰思维发展阶段理论为进行幼儿数学教育提供了直接的理论依据。儿童思维发展具有一定的阶段性，每一阶段儿童的思维发展具有不同的特点和规律，因此数学教育和教学工作一定要考虑儿童当时所处的发展阶段，超越儿童的发展阶段，教给儿童一些他们当时很难接受但日后能够发现的数学概念和知识，不仅不能有所创造，结果也不能对这种数学经验有真正的理解。④重视社会交往在幼儿数学认知发展中的作用。皮亚杰认为，影响儿童智力发展的一个重要因素就是社会经验，也即儿童与他人的社会交往。在与他人进行合作、交流和讨论的过程中，由于个体的知识经验和背景不同，彼此之间的想法不同，因此就使得儿童与他人之间产生了认知冲突，而这种认知冲突能够帮助儿童去自我中心，站在他人的角度思考数学问题，同时也使自己的数学经验得到丰富，数学概念得到进一步澄清和明确。