7.由合数想

例1 能被十个最小自然数整除的最小四位数是( )。

这个合数，一定是三个合数和一个质数的乘积。

例2 1989×20002000—2000×

19891989＝( )

合数的20002000和19891989，有相同的质因数。

原式＝1989×(2000×10001)

－2000×(1989×10001)＝0。

例3 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题第一试7题：在下面的算式中，所有分母都是四位数。请在每个方格里各填入一个数，使等式成立。

由式右的分子为1，知式左的两个分数相加的和可约分。若是同分母分数相加约分后，式右的分母不可是四位数，只能是异分母。

从分析合数1988入手：

(1)1988＝4×7×71。1988是4的倍数，如果式左两个分数的分子之和为4，则可约成分子是1的最简分数。

(2)由4×7=28，28＋43＝71，知

例4 最大公约数是1，两两均不互质，且大于50而小于100的三个数是( )、( )、( )。

解答此题，需综合应用合数、质数、互质数、质因数、公有质因数、最大公约数等概念。取三个两两互质的数，且它们两两之积大于50、小于100，得五组解：

7、8、9得56、63、72；

7、8、11得56、77、88；

7、9、10得63、70、90；

7、9、11得63、77、99；

8、9、11得72、88、99。

所取三数之间相互互质，其两两之积的三个数定无公有的质因数，最大公约数是1；每组的三个数都是两两的积，其两两之间必有相同的质因数。

8.由质因数想

例1 649被某数除，所得的商与除数相同，余数比除数少1，余数是( )。

因为 649＋1=650=2×52×13=25×26，

而 649=25×26—1

=25×(25＋1)－1

=25×25+24，

即 649÷25＝25余数是24。

例2 三姐妹的年龄依次大3岁，其积是1620，其和是( )。

1620＝22×34×5

=32×(22×3)×(3×5)

＝9×12×15，

9＋12＋15＝36。

例3 a、b、c、d是四个由小到大的自然数，其积是585，要使其和最小各是( )。

由 585＝3×3×5×13，知

a＝1，b＝5，c＝9，d＝13。

例4 四个自然数的积是144，这四个数可组成比例式()。

144＝24×32＝(2×6)×(3×4)。

由比例的基本性质，知

2∶3＝4∶6，2∶4＝3∶6，

6∶3＝4∶2，3∶2＝6∶4。

例5 把14、30、33、35、39、75、143、169分成两组，每组四个数，使它们的乘积相等( )，( )。

14＝2×7 39＝3×13

30＝2×3×5 75＝3×5×5

33＝3×11 143＝11×13

35＝5×7 169＝13×13

将相同质因数分属两组，配平于两个积中。

14×33×75×169＝2×32×52×7×11×132，

30×35×39×143＝2×32×52×7×11×132。

例6 从1到30的自然数中，能被2、3、5整除的各有( )、( )、( )个。不能被其中任意一个整除的有( )个。

30＝2×3×5。

前三个空应依次填：3×5＝15，

2×5＝10，2×3＝6。

1～30中有十个质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。去掉前三个加上1。最后空为8。

例7 715×972×975×( )，要使其积的最后四个数字都是0，括号内最小应填什么数？

乘积后面每含一个0，其乘数中必含质因数2和5各一个。

715＝5×11×13， 972＝22×35，975＝3×52。

这些数中共含三个“5”、两个“2”，构成四对2和5，需补足两个“2”和一个“5”。

应填2×2×5＝20。

例8 四个连续自然数的积是5040，这四个数是( )、( )、( )、( )。

5040＝24×32×5×7

＝7×23×32×(2×5)，

所求为 7、8、9、10。

( )。

105＝3×5×7，

512＝23×23×23。

例10 长、宽、高之比是3∶2∶5的长方体体积为1920cm3，长宽高各是( )、( )、( )cm。

1920＝27×3×5

＝(22×3)×23×(22×5)。

应填12、8、20。

9.巧用最大公约数

例1 224、292、377、496分别被( )除，余数都相同。

292－224＝68 377—224＝153 496—224＝272即后三个数，分别被第一个数除商为1，余数是68、153、272。

(68，153，272)＝17，

224÷17＝13……3。

四个数分别被17除，余数都是3。

例2 在一块边长为104m、240m、152m的三角形地周围栽树，株距相等，各角栽1棵。最少可栽( )棵。

株距相等，是各边长的公约数。株数最少，株距必最大，应为最大公约数。

(104，240，152)＝8

(104＋240＋152)÷8＝62(棵)

例3 把长144cm、宽48cm、高32cm的长方体，锯成尽可能大的同样大小的正方体。正方体的棱长( )cm，个数( )。

(144，48，32)＝16(cm)