对于任意一个整数除以一个自然数，一定存在唯一确定的商和余数，使被除数=除数×商+余数（0≤余数＜除数）
也就是说，整数a除以自然数b，一定存在唯一确定的q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立．
我们把对于已知整数a和自然数b，求q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立的运算叫做有余数的除法，或称带余除法．记为
a÷b=q（余r）或a÷b=q…r
读作“a除以b商q余r”，其中a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（简称商），r叫做余数．
例如5÷7=0（余5），6÷6=1（余0），29÷5=5（余4）．
解决有关带余问题时常用到以下结论：
（1）被除数与余数的差能被除数整除．即如果a÷b=q（余r），那么b｜（a-r）．
因为a÷b=q（余r），有a=bq＋r，从而a-r=bq，
所以b｜（a-r）．
例如39÷5=7（余4），有39＝5×7＋4，从而39-4=5×7，所以5｜（39-4）
（2）两个数分别除以某一自然数，如果所得的余数相等，那么这两个数的差一定能被这个自然数整除．即如果a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2（余r），那么b｜（a1-a2），其中a1≥a2．
因为a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2(余r），有a1=bq1+r，a2=bq2＋r，从而a1-a2=（bql＋r）-（bq2＋r）=b（q1-q2），所以b｜(a1-a2)．
例如，22÷3=7（余1），28÷3=9（余1），有22=3×7＋1，28=3×9＋1，从而28-22=3×9-3×7＝3×（9-7），所以3｜（28-22）．
（3）如果两个数a1和a2除以同一个自然数b所得的余数分别为r1和r2，r1与r2的和除以b的余数是r，那么这两个数a1与a2的和除以b的余数也是r．
例如，18除以5的余数是3，24除以5的余数是4，那么（18+24）除以5的余数一定等于（3＋4）除以5的余数（余2）．
（4）被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变，余数的也随着扩大（或缩小）相同的倍数．即如果a÷b=q（余r），那么（am）÷（bm）=q（余rm），（a÷m))÷（b÷m）=q（余r÷m）（其中m｜a，m｜b）．
例如，14÷6=2（余2），那么（14×8）÷（6×8）＝2（余2×8），（14÷2）÷（6÷2）=2（余2÷2）．
下面讨论有关带余除法的问题．
例1 节日的街上挂起了一串串的彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第1996盏灯是什么颜色？
分析：因为彩灯是按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，要求第1996盏灯是什么颜色，只要用1996除以5＋4＋3＋2的余数是几，就可判断第1996盏灯是什么颜色了．
解：1996÷（5＋4＋3＋2）=142…4
所以第1996盏灯是红色．
例2 把1至1996这1996个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112……199419951996，试求这一多位数除以9的余数．
分析：从前面我们学习被9整除的特征知道，一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数必能被9整除．所以一个数除以9的余数，与这个数的各个数位上的数字之和除以9的余数正好相等．这样问题转化为求1至1996这1996个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以9所得的余数即为所求．
解：将0至1999这2000个整数一头一尾分成如下1000组：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3，1996），……，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一组的两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：
（1＋9＋9+9）×1000=28000
而1997至1999这3个自然数所有数字之和为：
1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81
所以从1至1996这1996个自然所有数字之和为:
28000-81=27919
27919÷9=3102…1
所以123456789……199419951996除以9的余数是1．
另外：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的位数一定能被9整除．而1至1996共有1996个连续的自然数，且1996÷9=221…7，最后7个自然数为1990，1991，1992，…1996，这7个数的所有数字之和为：
1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋…+6=154
154÷9=17…1
所以123456789……199419951996这个多位数被9除余1．
为什么依次写出任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字之和除以9的余数，必是0，1，2，…，7，8这9个数，而各数位上的数字之和除以9的余数，就等于这9个数之和0+1+2+…+8除以9的余数，由于0＋1＋2+…＋8=36能被9整除，所以任意连续的9个自然数各数位上的数字之和必能被9整除，因此任意连续9个自然数所组成的多位数必能被9整除．
分析：首先要找到最少几个8连在一起得到的自然数能被7整除，这只要直接用除法进行试验来得出．88÷7＝12…4，888÷7=126…6，8888÷7＝1269…5，88888÷7=12698…2，888888÷7=126984，最少6个8能被7整除，凡是6的整数倍个8均能被7整除，而1996÷6=332…4，
解：因为888888÷7=126984，1996÷6=332…4，8888÷7=1269…
例4 一个数除93，254得到相同的余数，除163所得的余数比上面的余数大1，求这个数．
分析：因为这个数除93，254得到的余数相同，除163所得的余数比上面的余数大1，如果除162所得的余数应与上面的余数完全相同．这样将问题转化成相同余数的问题，根据前面结论（2）转化成整除问题，问题就可以得到解决．
解：设这个数为a，则a除93，254，162，得到相同的余数，于是有：
93＝aq1＋r，254＝aq2＋r,162＝aq3＋r
这样a｜（254-162），a（162-93），即a是92和69的公约数，（92，69）=23，23的公约数是1，23，但a≠1，所以a=23．
例5 一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求这个自然数，
分析：先求出被3除余1的数，然后在其中找到除以5余2的数，最后在这些数中找出除以7余3的最小自然数，这个数必然满足被3除余1，被5除余2，被7除余3的最小自然数．再加上3，5，7的公倍数，使得和在1000到1200之间．
解：被3除余1的数为：4，7，10，13，16，19，22，…，其中被5除余2的数为：7，22，37，52，67，…，这其中被7除3的最小自然数52，又因为[3，5，7]=105，所以所求数可表示为52＋105m，m是自然数，当m=10时，52＋105×10=1102即为所求．
例6 如图18—1，图中是一个按一定规律排列的数表，将自然数的所有奇数排成a、b、c、d、e、f六列，问1997出现在哪一列打头字母下？
a b c d e f
1 3 5 7 9
19 17 15 13 11
21 23 25 27 29
39 37 35 33 31
41 … … … …
图18—1
分析：从数表中可以看出，每两排共10个数为一个循环周期．1997是第（1997＋1）÷2=999个奇数．凡被10除余1或9在b列，被10除余2或8在c列，被10除余3或7在d列，被10除余4或6在e列，被10除余5在f列，被10整除在a列．这样很容易求出第999个奇数除以10的余数，从而得到1997在哪一列．
解：因为每两排共10个数为一个循环周期，1997是第（1997+1）÷2=999个奇数，又999÷10=99…9，所以1997在b列．