巧求面积

在我们日常生活及生产实践中，常会遇到求一个平面图形的面积问题．有些简单的图形，比如长方形（包括正方形）、三角形、平行四边形、梯形、圆，这些图形的面积可直接用公式求出，但还存在着许多巧求面积的问题，下面看一些例题．

例1 两块等腰直角三角板，如图7—1那样重合，试求重合部分（即阴影部分）的面积（单位：厘米）．

分析：已知△abc、△bde是等腰直角三角形，所以∠ebc=45°，∠acb=45°，由此得出∠bfc=180°-45°-45°=90°，所以△bfc是等腰直角三角形，它的面积恰好等于△abc的面积的一半．△abc的面积容易求出，阴影部分的面积用△bfc的面积减去△dcg的面积，由于∠edb=90°，∠acb=45°，所以△gdc是等腰直角三角形，很容易求出△gdc的面积，因此问题得以解决．

解：s△abc=ab×bc÷2=10×10÷2=50（平方厘米）

s△bfc=s△abc÷2=50÷2=25（平方厘米）

s△dgc=4×4÷2=8（平方厘米）

∴s阴影部分=s△bfc-s△dgc=25-8=17（平方厘米）

答：阴影部分的面积是17平方厘米．

例2 边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，如图7—2，它们盖住的面积是多少平方厘米？

分析：桌面被盖住的部分是一个不规则的图形，直接求无法求，分割成规则图形再去求比较麻烦．如果将这三个正方形面积求和，必然多算了它们的重叠部分，多算的部分恰好是这三个正方形两两重叠的部分，只需将多算的减去．由于两两重叠部分里有一个边长为2的小正方形减去了3次，显然是多减了2次，需要再加上多减的2次，即可求出被盖住的面积．

解：（1）三个正方形的面积之和

10×10＋8×8＋4×4=180（平方厘米）

（2）两两重叠部分的面积之和

5×5＋4×2+4×2=41（平方厘米）

（3）三个正方形重叠的部分的面积

2×2=4（平方厘米）

（4）它们盖住的面积

180-41＋2×4=147（平方厘米）

答：它们盖住的面积为147平方厘米．

例3 图7—3，长方形aecd中，ad=10厘米，cd=12厘米．b在ae的延长线上，bd交ce于f，△cfb的面积为24平方厘米，求△feb的面积等于多少平方厘米？

分析：要想求△feb的面积，只需求出eb、ef的长．由已知ad=10厘米，cd=12厘米，可以求出△dcb的面积，因为dc是△dcb的底边，ce是这条底边上的高线，且ce=ad=10厘米，s△dcb=12×10÷2=60平方厘米；又因为s△cfb=24平方厘米；所以s△dcf=s△dcb-s△cfb=60-24=36平方厘米；又由于s△dcb＝dc×cf÷2，这样可以求出cf的长，于是很容易得出ef的长；在△cfb中，底边cf上的高线为eb，由s△cfb=cf×eb÷2=24平方厘米，又可求出eb的长，于是问题也就得到了解决．