一、创设情境、揭示课题

师:有个问题,它历史悠久,至今已经有了1500多年了;它流传广泛,世界上许多国家的大人孩子都研究过它;它出自我国古代的数学名著《孙子算经》;这个问题就是-----

生:鸡兔同笼。

师:同学们,你们都见过鸡和兔对吗?谁用数学语言说说鸡和兔的区别?

生:一只鸡有 2 条腿,一只兔子有4 腿。

师:笼子里有2只鸡,3只兔,你能知道一共有几条腿吗? 谁来说说你是怎么算的?

生:用鸡的只数乘2,表示鸡的总腿数;兔子的只数乘4 表示兔子的总腿数;最后在相加就是总腿数。

师:板书:鸡的只数*2+兔的只数*4=总腿数

师:今天这节课我们就来研究中国历史上著名的数学趣题“鸡兔同笼”

二、主动探究、合作交流、学习新知

1.理解题意

出示例一

鸡兔同笼,有9个头,26条腿,问鸡、兔各有几只?

师:请大家齐读题目,你们从题目中都获得了哪些数学信息?

生1:有9个头,26条腿。

生2:鸡和兔一共有9只。

师:题目里还有其他数学信息吗?(学生沉思)

师:同学们对鸡和兔了解吗?(生顿悟,纷纷举手)

生:鸡有2只脚,兔子有4只脚。

师:你的反应可真快!不仅会观察,还很会思考。

2.尝试猜测

师:有了大胆的猜想才可能有伟大的发现,鸡和兔各有几只呢?我们不妨猜猜看。(板书:猜测。)

师:怎么猜?(学生沉思)能瞎猜吗?

生:能。

师:好,我先来猜一个。鸡5只,兔子10只。

生:不行,鸡和兔子的总只数应该是9只。

师:哦,你看老师的理解对不对,如果鸡有1只,兔子就有8只。

教师板书

头/个 鸡/只 兔/只
9 1 8
 师:怎样才能知道我猜得对不对?

生:要算算鸡和兔子一共有多少条腿。看是不是26条腿。

师:会算吗?

生:鸡的只数乘2加上兔的只数乘4,看看结果是多少。也就是1×2+8×4=34(师根据学生回答板书:1×2+8×4=34)

师:猜对了吗?

生:没有。

师:在数学上我们把这一过程称作验证。(板书:验证)

师:没猜对,接下来怎么办?

生:继续猜。

师:怎么继续猜?

刚才的猜测对接下来的猜测会有帮助吗?

生:有帮助,腿数太多了,再猜的话鸡的只数要增加,兔的只数要减少。

(教师在1的后面标出向上的箭头,8的后面标出向下的箭头。)

师:为什么?

生:因为鸡的腿数少,兔的腿数多,腿的总数太多就要减少兔的只数。

师:也就是要调整数据。(板书:调整)

师:一般来说,尝试一次就成功不太可能。你准备先试什么,再试什么,有一个初步的考虑后,拿出课前发的表格,把尝试的过程写在表里。

(学生独立尝试,教师巡视。约3—4分钟后,小组交流。教师深入2—3个小组倾听,偶尔提问。)

3.汇报交流。

师:小组讨论非常热烈!哪个小组愿意把你们组都认可、欣赏的方法推荐给大家?简单说出推荐理由。

组1:(呈现如下表格)

鸡(只数) 兔(只数) 腿(条数)
1 8 34
2 7 32
3 6 30
4 5 28
5 4 26
6 3 24
 师:孩子们,我想,你们试的过程,我们大家从表格里都能看的很清楚,我们现在想知道的是,你们为什么要推荐它?

组1生1:我们推荐这种方法,是因为它很简单,适合我们全体同学。

组1生2 :在表格里,大家能很清楚地看到数据是怎么变的:每一次鸡增加一只,兔子减少一只,腿的总数就少2。这样就能很快找到答案。这就是我们的推荐理由。谢谢大家!

(全班学生给予掌声表示欣赏赞同。台上学生欲拿回作品回座位。)

师:别着急,同学们还有问题想问你们呢!

生1:后来你们再试的时候,为什么你们只试鸡的只数增加的情况却不试鸡的只数减少的情况呢?

生:我们是从1只鸡8只兔,(也就是)从头开始试的,鸡最少有1只,当然只能慢慢增加不能减少了!

生2:我还有个问题,既然你们看出1只鸡、8只兔有34条腿,腿数远远大于26,为什么你们还要一点点地增加,不一下子把鸡的只数多增加一些呢?这样不变更简便了?

师:程老师发现你的水平很高,已经在很巧妙地介绍另外的方法了。一会儿我们再来听你说,好吗?

师:我们一起再来看这张表。他们成功地找到了结果了,那他们的尝试有什么特点?

生1:他们是按每次增加一只鸡,减少一只兔这么个办法来试的。

生2:我发现他们的尝试特别有顺序。

师:是的,他们把鸡、兔共9个头的情况有序地列举出来,(板书:有序列举)这么有序地一一列举,有什么好处?

生:这样就不会漏掉哪种情况,而且不会有重复。

师:是啊,地毯式大搜索会特别保险,保证不会有“漏网之鱼”。

生:有序地列举,还容易发现规律。

师:哦,还有这个好处:能发现规律?同学们发现了什么规律?

生:我发现鸡增一只,兔子减少一只,腿就减少两条。

(学生点头认可。)

师:发现这个规律有什么用?

生1:发现这个规律,我们就不用死算了,就可以根据这个规律去找。每次腿减少条就行了。

实物投影组2表格

鸡(只数) 兔(只数) 腿(条数)
4 5 28
5 4 26
 组2生1:我们组的方法和他们差不多,也是先想1只鸡、8只兔,有多少条腿,再一个一个地往下试。但我们是先从鸡、兔约各有一半开始试的,结果只试了2次就好了。

组2生2:我们认为这种方法比较简便。

组2生3 :我们不像他们组那么麻烦,度了那么多次。

师:等一下,你们这个方法确实很简单,我们从表里能看到,只试了2次就找到结果了。凭什么这么简单?如果简单是因为碰巧运气好,那我们也没法学,简单的背后原因到底是什么?

(许多学生跃跃欲试)

师:你们的知音还真不少!看看他们能不能说出你们的心里话?

生1:从鸡和兔各占一半开始试,试完之后就能看出到底是哪种动物多了。

生2:从鸡、兔各一半开始试,就是36条腿,离正确答案更接近。

生3:先假设鸡和兔各占一半,如果算出腿的条数比26条多,那就增加鸡减少兔,如果算出的腿数比26条少,那就反过来。这样就能更快地找到答案。

生4:从中间开始试,就可以尝试的范围缩小两倍。

生5:我同意你的观点,但给你纠正个说法:尝试的范围缩小了一半,不是两倍。

师:同学们对鸡兔同笼问题理解的越来越透彻了,看来这样直接从中间数列举也可以找到正确答案。这种方法也是列表中常用的一种方法,我们称之为:取中列举

师:我记得刚才有个同学还有个好方法要介绍,是吗?请——

实物展示组3

生:我是从1只鸡11只兔开始试的,但我是跳着试的,所以也很快找到了结果。

鸡(只数) 兔(只数) 腿(条数)
1 8 34
3 6 30
5 4 26
 师:(故意地)你从1只鸡跳到了3只鸡,你就不怕把正确答案给跳过了?

生:我是看到腿多的比较多,估计鸡要增加不少,所以说我跳着试是有根据的!

师:我喜欢这样有根据的跳跃!

生:(激动地)我给她补充:就算发现跳过了,也没关系!再回头试,那样就不用再把鸡的(只数),往大里试了,范围也缩小了很多!

(老师点头赞许。)

师:大家的方法各不相同。但这些不同的方法中,却有着相同的地方!

生:都是对问题、对尝试的结果进行分析,然后再作调整的。

师:真善于总结!

出示例二

师:原题是:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?

请大家结合刚才我们所发现的规律和猜测的方法,应用列表法小组合作完成,看那组能能列举的更简单,更快捷吗?

学生汇报 1:跳跃列表法

2:取中列表法

师:再次对几种列表法进行比较,说明他们之间有一定的区别和联系的。

师:同学们还真善于思考和总结,的确,在解决问题时,我们需要根据实际情况来选择合适的方法。

三、类比建构、解释应用

1.类比建构

(1)龟鹤问题

师:其实“鸡兔同笼”问题,不光咱们中国人在研究,在日本也有类似的研究,日本人称它为“龟鹤问题”,请同学们来看,(投影出示龟鹤问题图片)

师:想想看,“龟鹤问题”与“鸡兔同笼”问题有联系吗?

生:(思考片刻后)有,鹤和鸡一样有两条腿,龟与兔一样有四条腿。

师:看来这里的鸡不仅仅代表鸡,这里的兔也不仅仅代表兔,可能是龟鹤问题,也可能是?

生1:马鹤问题。

生2:鸡猫问题。

生3:人猪问题。 „„

师:不一会儿,我们就把动物园转了一遍。生活中有“鸡兔同笼”的问题吗。

(2)民谣中的数学问题

投影出示:一队猎人一队狗,两队并成一队走。数头一共是十四,数脚共有四十六。

师:这还是鸡兔同笼问题吗?

生:是,猎人相当于鸡,狗相当于兔子。

(3)储蓄问题: 课件出示:小明的存钱罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值5.1元,1角和5角的硬币各多少枚?

师:你认为这还是鸡兔同笼问题吗?(有人说是,有人说不是)认为这个问题“是”鸡兔同笼问题的同学请举手(约有三分之一)。

师:这样吧,既然有了不同意见,那我们就来个小辩论,看看谁能说服对方。认为是的为正方,认为不是的为反方。请双方各推荐一位代表,其他同学可以补充。

反方代表:刚才的鸡兔同笼问题都是两条腿和四条腿的,这个问题中没有2和4的条件。正方代表:其实这也是鸡兔同笼问题,这里的一角硬币就相当于有一只脚的“怪鸡”,而五角的硬币就相当于有五只脚的“怪兔”!

正方同学:(正方一学生迫不及待)还有,题目中的27枚就相当于“怪鸡”、“怪兔”共有27只,5.1元也就是51角,相当于“怪鸡”、“怪兔”的脚共有51只。(这时有不少反方学生若有所悟,纷纷点头) 师:现在你们的意见呢?

生:是(鸡兔同笼问题)! 师:同学们真善于奇思妙想,竟能把鸡“整成”独腿鸡,把兔子给“整成”了五腿兔。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子,还可以是5只脚的怪兔。“鸡”不仅可以使两只脚的“鸡”,即使再出现3只脚的“鸡”,我们也不会觉得奇怪了!

看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题,换成乌龟和仙鹤,换成人和狗,仍然是鸡兔同笼问题,“鸡兔”同笼其实只是这类问题一个模型!

四、分析应用,提高升华

师:通过刚才的学习,同学们对尝试这一方法一定有了新认识,带着这些认识,我们再来看另外一个问题

1.在我们生活中有许多的鸡兔同笼问题,那么它与鸡兔同笼问题有什么联系?

出示课本第100页的练习题

2.请选择自己喜欢的列表方法在表四中来列表完成.

五、回顾总结。

师:对尝试这一方法,现在你怎么看?

生1:我认为,并不是任何问题都有现成的方法能解决,许多时候需要我们去尝试。

师:同意!面对新问题尝试法更有用武之地。

生2:学数学,只有不停地去尝试,你才能取得成功!生活中也是这样!

生3:遇上一个问题,无从下手的时候,不见得非要想一个高明的方法,用这种有点原始的尝试法,一点点地去试,也能找到答案!

生4:以前我觉得“鸡兔同笼”这个问题很难,用假设法步骤很多,我老要忘掉。但用尝试法,我觉得就很简单!

生5:尝试不是傻试,也要动脑子分析,思考得越多,排除的就越多!

师:是啊,尝试的学问还真不少!(对着板书)从一个具体的数学问题出发,研究解法,并上升到一种模型,最后进行广泛的运用,数学就是这样发展起来的。同样,如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识,举一反三,能触类旁通,那么你必将会走向数学学习的自由王国。