计算角的度数

在计算角的度数时常常用到以下知识：平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°；三角形的内角和等于180°；等腰三角形的两个底角相等；直角三角形中两个锐角的和等于90°；等边三角形的每个内角等于60°．

下面我们学习如何计算角的度数．

例1 如图6—1，求∠1，∠2，∠3的度数．

分析：因为∠1与130°的和

是一个平角，用180°减去130°就是∠1的度数；利用直角三角形中两个锐角和等于90°，再由前面得出的∠1的度数，可以求出∠2的度数；∠2与∠3的和是180°，由此得到∠3的度数．

解：∠1=180°-130°=50°

∠2=90°-∠1=90°-50°=40°

∠3=180°-∠2=180°-40°=140°

例2 如图6—2，已知∠c=25°，ad=db=bc，求∠ade的度数.

分析：要求∠ade的度数，只须求∠adc的度数，因为bd=bc，所以∠bdc=∠c，根据三角形内角和等于180°，可以求出∠dbc的度数，由于∠dbc与∠abd的和是180°，所以∠abd的度数可以求出，又因为ad=db，所以∠bad=∠abd，再利用三角形内角和等于180°，得到∠adb的度数，最终求出∠ade的度数．

解：因为db=bc

所以∠bdc=∠c=25°

在△bdc中，

∠dbc=180°-∠c-∠bdc=180°-25°-25°=130°

又因为∠abd+∠dbc=180°

所以∠abd=180°-∠dbc=180°-130°=50°

因为ad=db

所以∠dab=∠abd=50°

在△adb中

∠adb=180°-∠dab-∠abd=180°-50°-50°=80°

所以∠adc=adb+∠bdc=80°+25°=105°

∠ade=180°-∠adc=180°-105°=75°

说明：∠ade=∠dab+∠c，这并不是偶然的巧合，而是因为∠ade与∠adc的和是180°，∠adc与∠c及∠dab的和也是180°，所以∠ade等于∠c+∠dab．∠ade叫做△adc的一个外角，由此得出一个重要的结论：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图6—3中，∠dac、∠abe、∠acf都分别叫三角形abc的外角，而

∠dac=∠abc+∠acb

∠abe=∠bac+∠acb

∠acf=∠abc+∠cab

例3 如图6—4，已知：∠acb=3∠a=6∠b，de⊥ab，求∠d的度数．

分析：在△abc中，由∠a、∠b、∠acb的关系及它们的和等于180°，可以得出∠b的度数，在直角三形deb中，∠d与∠b的和是90°，可以得出∠d的度数．

解：在△abc中

∠a+∠b+∠acb=180°

因为3∠a=6∠b，所以∠a=2∠b，又∠acb=6∠b，所以2∠b+∠b+6∠b=180°

9∠b=180°

∠b=20°

在直角三角形deb中，

因为∠d+∠b=90°

所以∠d=90°-∠b=90°-20°=70°．

例4 同样大小的12个正方形，如图6—5那样排列起来，∠abc是多少度？

分析：要求∠abc的度数，似乎无从下手，但仔细观察图形特点，如果将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°，如图6—6，点d移到点e，ab与ac重合，得到△abc是直角三角形，并且ab=ac，这样容易求出∠abc的度数．

解：将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°，则△abd与△ace重合，即△abc是直角三角形，且ab=ac，所以∠abc=∠acb=45°．

例5 将正方形abcd对半折叠后，折线为ef，如图6—7，将b点利用折线移到ef上，折线为cp，求∠1、∠2的度数．

分析：以cp为折线折叠后点b移到点m，如图6—8，以ef为折线折叠后，点b与c重合，所以mb=mc，又因为以cp为折线折叠后，点b与m重合，所以bc=mc，∠1=∠3，于是由mb=mc=bc知，△mbc是等边三角形，所以∠1+∠3=60°，可以求出∠1的度数．而在△abm中，由于mb=bc知，mb=ab，所以△abm是等腰三角形，由∠mbc的度数可以求出∠abm的度数，这样便可以求出∠bam的度数，最终可以求出∠2的度数．