一、鸡兔同笼问题
“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。
例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244÷2=122（只）。
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34，有34只兔子。当然鸡就有54只。
答：有兔子34只，鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数。
上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法。
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了88×4-244=108（只）。每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）。说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子。而是鸡。因此可以列出公式：
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）。每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68÷2=34（只）。
说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式：
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）。
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”。
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。
例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红、蓝铅笔各买几支？
解：以“分”作为钱的单位。我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了。
利用上面算兔数公式，就有：
蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）。
红笔数=16-3=13（支）。
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性。例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8×（11+19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5.
就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算。实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。
例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数 19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷（19-11）=3，就知道设想6只“鸡”，要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领。
下面再举四个稍有难度的例子。
例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成。乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？
解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）。
现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了。
根据前面的公式
“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）=4.5，
“鸡”数=7-4.5=2.5，
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：甲打字用了4小时30分。
例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数。25是“总头数”。86是“总脚数”。根据公式，兄的年龄是：
（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）。
1998年，兄年龄是 14-4=10（岁）。
父年龄是 （25-14）×4-4=40（岁）。
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 （40-10）÷（3-1）=15（岁）。
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍。
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）。
因此就知道6条腿的小虫共 18-5=13（只）。
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式
蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）。
因此蜻蜓数是13-6=7（只）。
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道、3道、4道题的人共有 52-7-6=39（人）。
他们共做对 181-1×7-5×6=144（道）。
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）。这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）。
答：做对4道题的有31人。
习题一
1.龟鹤共有100个头，350只脚。龟、鹤各多少只？
2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副。象棋和跳棋各有几副？
3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？
4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元、5元、10元各有多少张？
5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天。甲先做了多少天？
6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路。全程中包含这两种阶段各几段？
7.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？
二、“两数之差”的问题
鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？
例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多。
（680-8×40）÷（8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。
因此8分邮票有40+30=70（张）。
答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。
也可以用任意假设一个数的办法。
解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分。以“分”作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少，因此还要增加邮票。为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是：
（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）。
因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）。
例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？
解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份。用上一例题解一的方法，晴天有
（150-8×3）÷（10+8）= 7（天）。
雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）。
答：这项工程17天完成。
请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题。差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系。
总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？
例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。
兔的只数是：（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）。
鸡是：100-38=62（只）。
答：鸡62只，兔38只。
当然也可以去掉兔28÷4=7（只）。兔的只数是（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）。
也可以用任意假设一个数的办法。
解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）。此时脚数之差是：
4×50-2×50=100，
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）。为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）。因此要减少的兔数是：（100-28）÷（4+2）=12（只）。
兔只数是：50-12=38（只）。
另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”。
例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首。
解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
13×5×4+20=280（字）。
每首字数相差：7×4-5×4=8（字）。
因此，七言绝句有：28÷（28-20）=35（首）。
五言绝句有：35+13=48（首）。
答：五言绝句48首，七言绝句35首。
解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首。字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了：460-280=180（字）。与题目中“少20字”相差：180+20=200（字）。
说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
200÷8=25（首）。
五言绝句有 23+25=48（首）。
七言绝句有 10+25=35（首）。
在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事。
例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8×40）÷（8+4）=30（张）。
例9，假设都是兔，鸡的只数是（100×4-28）÷（4+2）=62（只）。
例10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（20×13+20）÷（28-20）=35（首）。
首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”。其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元。结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？
解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）。因此破损只数是（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）。
答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。
请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？
例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）。那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：8×6-2×（15-6）=30（分）。 两次相差：120-30=90（分）。
比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少。第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）。（90-10）÷（6+10）=5（题）。
因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对：30-19=11（题）。
第一次得分：5×19-1×（24- 9）=90.
第二次得分：8×11-2×（15-11）=80.
答：第一次得90分，第二次得80分。
解二：答对30题，也就是两次共答错
24+15-30=9（题）。
第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）。答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）。
如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分。比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是：（6×9+10）÷（6+10）=4（题）•
第一次答错 9-4=5（题）。
第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）。
第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）。
习题二
1.买语文书30本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少？
2.甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克。甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？
3.一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次。一连运了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次。问一连运了多少天？
4.某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分。问小华做对了几道题？
5.甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10发，共命中14发。结算分数时，甲比乙多10分。问甲、乙各中几发？
6.甲、乙两地相距12千米。小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇。如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。